最近我们被客户要求撰写关于股票市场指数的研究报告，包括一些图形和统计输出。
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时间序列分析模型 ARIMA-ARCH GARCH模型分析股票价格数据
本文将分析工业指数（DJIA）。工业指数（DIJA）是一个股市指数，表明30家大型上市公司的价值。工业指数（DIJA）的价值基于每个组成公司的每股股票价格之和。
本文将尝试回答的主要问题是：
这些年来收益率和交易量如何变化？这些年来，收益率和交易量的波动如何变化？我们如何建模收益率波动？我们如何模拟交易量的波动？
为此，本文按以下内容划分：
第1部分：获取每日和每周对数收益的数据，摘要和图
第2部分：获取每日交易量及其对数比率的数据，摘要和图
第3部分：每日对数收益率分析和GARCH模型定义
第4部分：每日交易量分析和GARCH模型定义
获取数据
利用quantmod软件包中提供的getSymbols（）函数，我们可以获得至底的工业平均指数。
getSymbols("^DJI", from = "-01-01", to = "-01-01")dim(DJI)## [1] 3020 6class(DJI)## [1] "xts" "zoo"
让我们看一下DJI xts对象，它提供了六个时间序列，我们可以看到。
head(DJI)## DJI.Open DJI.High DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted## -01-03 12459.54 12580.35 12404.82 12474.52 32720000012474.52## -01-04 12473.16 12510.41 12403.86 12480.69 25906000012480.69## -01-05 12480.05 12480.13 12365.41 12398.01 23522000012398.01## -01-08 12392.01 12445.92 12337.37 12423.49 22350000012423.49## -01-09 12424.77 12466.43 12369.17 12416.60 22519000012416.60## -01-10 12417.00 12451.61 12355.63 12442.16 22657000012442.16tail(DJI)## DJI.Open DJI.High DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted## -12-21 22871.74 23254.59 22396.34 22445.37 90051000022445.37## -12-24 22317.28 22339.87 21792.20 21792.20 30842000021792.20## -12-26 21857.73 22878.92 21712.53 22878.45 43308000022878.45## -12-27 22629.06 23138.89 22267.42 23138.82 40794000023138.82## -12-28 23213.61 23381.88 22981.33 23062.40 33651000023062.40## -12-31 23153.94 23333.18 23118.30 23327.46 28883000023327.46
更准确地说，我们有可用的OHLC（开盘，高，低，收盘）指数值，调整后的收盘价和交易量。在这里，我们可以看到生成的相应图表。
我们在此分析调整后的收盘价。
DJI[,"DJI.Adjusted"]
简单对数收益率
简单的收益定义为：
对数收益率定义为：
我们计算对数收益率。
CalculateReturns(dj_close, method = "log")
让我们看看。
head(dj_ret)## DJI.Adjusted## -01-04 0.0004945580## -01-05 -0.0066467273## -01-08 0.0020530973## -01-09 -0.0005547987## -01-10 0.0020564627## -01-11 0.0058356461tail(dj_ret)## DJI.Adjusted## -12-21 -0.018286825## -12-24 -0.029532247## -12-26 0.048643314## -12-27 0.011316355## -12-28 -0.003308137## -12-31 0.011427645
给出了下面的图。
可以看到波动率的急剧上升和下降。第3部分将对此进行深入验证。
辅助函数
我们需要一些辅助函数来简化一些基本的数据转换，摘要和绘图。
1.从xts转换为带有year and value列的数据框。这样就可以进行年度总结和绘制。
df_t <- data.frame(year = factor(year(index(data_xts))), value = coredata(data_xts))colnames(df_t) <- c( "year", "value")
2.摘要统计信息，用于存储为数据框列的数据。
rownames(basicStats(rnorm(10,0,1))) # 基本统计数据输出行名称with(dataset, tapply(value, year, basicStats))
3.返回关联的列名。
colnames(basicstats[r, which(basicstats[r,] > threshold), drop = FALSE])
4.基于年的面板箱线图。
p <- ggplot(data = data, aes(x = year, y = value)) + theme_bw() + theme(legend.position = "none") + geom_boxplot(fill = "blue")
5.密度图，以年份为基准。
p <- ggplot(data = data, aes(x = value)) + geom_density(fill = "lightblue") p <- p + facet_wrap(. ~ year)
6.基于年份的QQ图。
p <- ggplot(data = dataset, aes(sample = value)) + stat_qq(colour = "blue") + stat_qq_line() p <- p + facet_wrap(. ~ year)
7. Shapiro检验
pvalue <- function (v) {shapiro.test(v)$p.value}
每日对数收益率探索性分析
我们将原始的时间序列转换为具有年和值列的数据框。这样可以按年简化绘图和摘要。
head(ret_df)## year value## 1 0.0004945580## 2 -0.0066467273## 3 0.0020530973## 4 -0.0005547987## 5 0.0020564627## 6 0.0058356461tail(ret_df)##year value## 3014 -0.018286825## 3015 -0.029532247## 3016 0.048643314## 3017 0.011316355## 3018 -0.003308137## 3019 0.011427645
基本统计摘要
给出了基本统计摘要。
## ## nobs 250.000000 253.000000 252.000000 252.000000 252.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum-0.033488 -0.08 -0.047286 -0.036700 -0.057061## Maximum 0.025223 0.105083 0.066116 0.038247 0.041533## 1. Quartile -0.003802 -0.012993 -0.006897 -0.003853 -0.006193## 3. Quartile 0.005230 0.007843 0.008248 0.004457 0.006531## Mean0.000246 -0.001633 0.000684 0.000415 0.000214## Median 0.001098 -0.000890 0.001082 0.000681 0.000941## Sum 0.061427 -0.413050 0.172434 0.104565 0.053810## SE Mean 0.000582 0.001497 0.000960 0.000641 0.000837## LCL Mean-0.000900 -0.004580 -0.001207 -0.000848 -0.001434## UCL Mean0.001391 0.001315 0.002575 0.001678 0.001861## Variance0.000085 0.000567 0.000232 0.000104 0.000176## Stdev 0.009197 0.023808 0.015242 0.010182 0.013283## Skewness-0.613828 0.224042 0.070840 -0.174816 -0.526083## Kurtosis1.525069 3.670796 2.074240 2.055407 2.453822## ## nobs 250.000000 252.000000 252.000000 252.000000 252.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum-0.023910 -0.023695 -0.020988 -0.036402 -0.034473## Maximum 0.023376 0.023263 0.023982 0.038755 0.024384## 1. Quartile -0.003896 -0.002812 -0.002621 -0.005283 -0.002845## 3. Quartile 0.004924 0.004750 0.004230 0.005801 0.004311## Mean0.000280 0.000933 0.000288 -0.000090 0.000500## Median -0.000122 0.001158 0.000728 -0.000211 0.000738## Sum 0.070054 0.235068 0.072498 -0.022586 0.125884## SE Mean 0.000470 0.000403 0.000432 0.000613 0.000501## LCL Mean-0.000645 0.000139 -0.000564 -0.001298 -0.000487## UCL Mean0.001206 0.001727 0.001139 0.001118 0.001486## Variance0.000055 0.000041 0.000047 0.000095 0.000063## Stdev 0.007429 0.006399 0.006861 0.009738 0.007951## Skewness0.027235 -0.199407 -0.332766 -0.127788 -0.449311## Kurtosis0.842890 1.275821 1.073234 1.394268 2.079671## ## nobs 251.000000 251.000000## NAs 0.000000 0.000000## Minimum-0.017930 -0.047143## Maximum 0.014468 0.048643## 1. Quartile -0.001404 -0.005017## 3. Quartile 0.003054 0.005895## Mean0.000892 -0.000231## Median 0.000655 0.000695## Sum 0.223790 -0.057950## SE Mean 0.000263 0.000714## LCL Mean0.000373 -0.001637## UCL Mean0.001410 0.001175## Variance0.000017 0.000128## Stdev 0.004172 0.011313## Skewness-0.189808 -0.522618## Kurtosis2.244076 2.802996
在下文中，我们对上述一些相关指标进行了具体评论。
平均值
每日对数收益率具有正平均值的年份是：
filter_stats(stats, "Mean", 0)## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" ""
按升序排列。
## ## Mean -0.001633 -0.000231 -9e-05 0.000214 0.000246 0.00028 0.000288## ## Mean 0.000415 5e-04 0.000684 0.000892 0.000933
中位数
正中位数是：
filter_stats(dj_stats, "Median", 0)## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" ""
以升序排列。
## ## Median -0.00089 -0.000211 -0.000122 0.000655 0.000681 0.000695 0.000728## ## Median 0.000738 0.000941 0.001082 0.001098 0.001158
偏度
偏度（Skewness）可以用来度量随机变量概率分布的不对称性。
公式：
其中是均值，是标准差。
几何意义：
偏度的取值范围为(-∞,+∞)
当偏度<0时，概率分布图左偏（也叫负偏分布，其偏度<0）。
当偏度=0时，表示数据相对均匀的分布在平均值两侧，不一定是绝对的对称分布。
当偏度>0时，概率分布图右偏（也叫正偏分布，其偏度>0）。
例如上图中，左图形状左偏，右图形状右偏。
每日对数收益出现正偏的年份是：
## [1] "" "" ""
按升序返回对数偏度。
stats["Skewness",order(stats["Skewness",#### Skewness -0.613828 -0.526083 -0.522618 -0.449311 -0.332766 -0.199407## ## Skewness -0.189808 -0.174816 -0.127788 0.027235 0.07084 0.224042
峰度
峰度（Kurtosis）可以用来度量随机变量概率分布的陡峭程度。
公式：
其中是均值，是标准差。
几何意义：
峰度的取值范围为[1,+∞)，完全服从正态分布的数据的峰度值为 3，峰度值越大，概率分布图越高尖，峰度值越小，越矮胖。
例如上图中，左图是标准正太分布，峰度=3，右图的峰度=4，可以看到右图比左图更高尖。
通常我们将峰度值减去3，也被称为超值峰度（Excess Kurtosis），这样正态分布的峰度值等于0，当峰度值>0，则表示该数据分布与正态分布相比较为高尖，当峰度值<0，则表示该数据分布与正态分布相比较为矮胖。
每日对数收益出现超值峰度的年份是：
## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" "" ""## [11] "" ""
按升序返回超值峰度。
## ## Kurtosis 0.84289 1.073234 1.275821 1.394268 1.525069 2.055407 2.07424## ## Kurtosis 2.079671 2.244076 2.453822 2.802996 3.670796
的峰度最接近。
箱形图
我们可以看到出现了最极端的值。从开始，除了和以外，其他所有值的范围都变窄了。但是，与和相比，产生极端值的趋势明显改善。
密度图
densityplot(ret_df)
具有显着的负偏。的特点是平坦。的峰值与的平坦度和左偏一致。
shapiro检验
shapirot(ret_df)## result## 5.989576e-07## 5.782666e-09## 1.827967e-05## 3.897345e-07## 5.494349e-07## 1.790685e-02## 8.102500e-03## 1.750036e-04## 5.531137e-03## 1.511435e-06## 3.304529e-05## 1.216327e-07
正常的零假设在-的所有年份均被拒绝。
每周对数收益率探索性分析
可以从每日对数收益率开始计算每周对数收益率。让我们假设分析第{t-4，t-3，t-2，t-1，t}天的交易周，并知道第t-5天（前一周的最后一天）的收盘价。我们将每周的对数收益率定义为：
可以写为：
因此，每周对数收益率是应用于交易周窗口的每日对数收益率之和。
我们来看看每周的对数收益率。
该图显示波动率急剧上升和下降。我们将原始时间序列数据转换为数据框。
head(weekly_ret_df)## year value## 1 -0.0061521694## 2 0.0126690596## 3 0.0007523559## 4 -0.0062677053## 5 0.0132434177## 6 -0.0057588519tail(weekly_ret_df)##year value## 622 0.05028763## 623 -0.04605546## 624 -0.01189714## 625 -0.07114867## 626 0.02711928## 627 0.01142764
基本统计摘要
dataframe_basicstats(weekly_ret_df)## ## nobs 52.000000 52.000000 53.000000 52.000000 52.000000 52.000000## NAs0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum-0.043199 -0.200298 -0.063736 -0.058755 -0.066235 -0.035829## Maximum0.030143 0.106977 0.086263 0.051463 0.067788 0.035316## 1. Quartile -0.009638 -0.031765 -0.015911 -0.007761 -0.015485 -0.010096## 3. Quartile 0.014808 0.012682 0.022115 0.016971 0.014309 0.011887## Mean 0.001327 -0.008669 0.003823 0.00 0.001035 0.001102## Median 0.004244 -0.006811 0.004633 0.004529 0.001757 0.001166## Sum0.069016 -0.450811 0.202605 0.104565 0.053810 0.057303## SE Mean0.002613 0.006164 0.004454 0.003031 0.003836 0.002133## LCL Mean -0.003919 -0.021043 -0.005115 -0.004074 -0.006666 -0.003181## UCL Mean0.006573 0.003704 0.012760 0.008096 0.008736 0.005384## Variance0.000355 0.001975 0.001051 0.000478 0.000765 0.000237## Stdev 0.018843 0.044446 0.032424 0.021856 0.027662 0.015382## Skewness -0.680573 -0.985740 0.121331 -0.601407 -0.076579 -0.027302## Kurtosis -0.085887 5.446623 -0.033398 0.357708 0.052429 -0.461228## ## nobs 52.000000 52.000000 53.000000 52.000000 52.000000 53.000000## NAs0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum-0.022556 -0.038482 -0.059991 -0.063897 -0.015317 -0.071149## Maximum0.037702 0.034224 0.037693 0.052243 0.028192 0.050288## 1. Quartile -0.001738 -0.006378 -0.012141 -0.007746 -0.002251 -0.011897## 3. Quartile 0.011432 0.010244 0.009620 0.012791 0.009891 0.019857## Mean 0.004651 0.001756 -0.000669 0.002421 0.004304 -0.001093## Median 0.006360 0.003961 0.000954 0.001947 0.004080 0.001546## Sum0.241874 0.091300 -0.035444 0.125884 0.223790 -0.057950## SE Mean0.001828 0.002151 0.002609 0.002436 0.001232 0.003592## LCL Mean0.000981 -0.002563 -0.005904 -0.002470 0.001830 -0.008302## UCL Mean0.008322 0.006075 0.004567 0.007312 0.006778 0.006115## Variance0.000174 0.000241 0.000361 0.000309 0.000079 0.000684## Stdev 0.013185 0.015514 0.018995 0.017568 0.008886 0.026154## Skewness -0.035175 -0.534403 -0.494963 -0.467158 0.266281 -0.658951## Kurtosis -0.200282 0.282354 0.665460 2.908942 -0.124341 -0.000870
在下文中，我们对上述一些相关指标进行了具体评论。
平均值
每周对数收益呈正平均值的年份是：
## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" ""
所有平均值按升序排列。
## ## Mean -0.008669 -0.001093 -0.000669 0.001035 0.001102 0.001327 0.001756#### Mean 0.00 0.002421 0.003823 0.004304 0.004651
中位数
中位数是：
## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" "" ""## [11] ""
所有中值按升序排列。
## ## Median -0.006811 0.000954 0.001166 0.001546 0.001757 0.001947 0.003961## ## Median 0.00408 0.004244 0.004529 0.004633 0.00636
偏度
出现正偏的年份是：
stats(stats, "Skewness", 0)## [1] "" ""
所有偏度按升序排列。
stats["Skewness",order(stats["Skewness",,])]## ## Skewness -0.98574 -0.680573 -0.658951 -0.601407 -0.534403 -0.494963#### Skewness -0.467158 -0.076579 -0.035175 -0.027302 0.121331 0.266281
峰度
出现正峰度的年份是：
filter_stats(stats, "Kurtosis", 0)## [1] "" "" "" "" "" ""
峰度值都按升序排列。
#### Kurtosis -0.461228 -0.200282 -0.124341 -0.085887 -0.033398 -0.00087## ## Kurtosis 0.052429 0.282354 0.357708 0.66546 2.908942 5.446623
也是每周峰度最高的年份。但是，在这种情况下，的峰度为负，而的峰度为第二。
箱形图
密度图
shapiro检验
shapirot(weekly_df)## result## 0.0140590311## 0.0001397267## 0.8701335006## 0.0927104389## 0.8650874270## 0.9934600084## 0.4849043121## 0.1123139646## 0.3141519756## 0.0115380989## 0.9465281164## 0.0475141869
零假设在、、被拒绝。
QQ图
在尤其明显地违背正态分布的情况。
交易量探索性分析
在这一部分中，本文将分析道琼斯工业平均指数（DJIA）的交易量。
获取数据
每日量探索性分析
我们绘制每日交易量。
vol <- DJI[,"DJI.Volume"]plot(vol)
值得注意的是，初的水平跃升，我们将在第4部分中进行研究。我们将时间序列数据和时间轴索引转换为数据框。
head(dj_vol_df)## yearvalue## 1 327200000## 2 259060000## 3 235220000## 4 223500000## 5 225190000## 6 226570000tail(dj_vol_df)##yearvalue## 3015 900510000## 3016 308420000## 3017 433080000## 3018 407940000## 3019 336510000## 3020 288830000
基本统计摘要
## ## nobs 2.510000e+02 2.530000e+02 2.520000e+02 2.520000e+02## NAs 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00## Minimum8.640000e+07 6.693000e+07 5.267000e+07 6.840000e+07## Maximum4.571500e+08 6.749200e+08 6.729500e+08 4.598900e+08## 1. Quartile 2.063000e+08 2.132100e+08 1.961850e+08 1.633400e+08## 3. Quartile 2.727400e+08 3.210100e+08 3.353625e+08 2.219025e+08## Mean 2.449575e+08 2.767164e+08 2.800537e+08 2.017934e+08## Median2.350900e+08 2.569700e+08 2.443200e+08 1.905050e+08## Sum 6.148432e+10 7.000924e+10 7.057354e+10 5.085193e+10## SE Mean3.842261e+06 5.965786e+06 7.289666e+06 3.950031e+06## LCL Mean 2.373901e+08 2.649672e+08 2.656970e+08 1.940139e+08## UCL Mean 2.525248e+08 2.884655e+08 2.944104e+08 2.095728e+08## Variance 3.705505e+15 9.004422e+15 1.339109e+16 3.931891e+15## Stdev 6.087286e+07 9.489163e+07 1.157199e+08 6.270480e+07## Skewness 9.422400e-01 1.203283e+00 1.037015e+00 1.452082e+00## Kurtosis 1.482540e+00 2.064821e+00 6.584810e-01 3.214065e+00## ## nobs 2.520000e+02 2.500000e+02 2.520000e+02 2.520000e+02## NAs 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00## Minimum8.410000e+06 4.771000e+07 3.364000e+07 4.287000e+07## Maximum4.799800e+08 4.296100e+08 4.00e+08 6.554500e+08## 1. Quartile 1.458775e+08 1.107150e+08 9.488000e+07 7.283000e+07## 3. Quartile 1.932400e+08 1.421775e+08 1.297575e+08 9.928000e+07## Mean 1.804133e+08 1.312606e+08 1.184434e+08 9.288516e+07## Median1.671250e+08 1.251950e+08 1.109250e+08 8.144500e+07## Sum 4.546415e+10 3.281515e+10 2.984773e+10 2.340706e+10## SE Mean3.897738e+06 2.796503e+06 2.809128e+06 3.282643e+06## LCL Mean 1.727369e+08 1.257528e+08 1.129109e+08 8.64e+07## UCL Mean 1.880897e+08 1.367684e+08 1.239758e+08 9.935019e+07## Variance 3.828475e+15 1.955108e+15 1.988583e+15 2.715488e+15## Stdev 6.187468e+07 4.421660e+07 4.459353e+07 5.211034e+07## Skewness 1.878239e+00 3.454971e+00 3.551752e+00 6.619268e+00## Kurtosis 5.631080e+00 1.852581e+01 1.900989e+01 5.856136e+01## ## nobs 2.520000e+02 2.520000e+02 2.510000e+02 2.510000e+02## NAs 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00## Minimum4.035000e+07 4.589000e+07 1.186100e+08 1.559400e+08## Maximum3.445600e+08 5.734700e+08 6.357400e+08 9.005100e+08## 1. Quartile 8.775250e+07 8.224250e+07 2.695850e+08 2.819550e+08## 3. Quartile 1.192150e+08 1.203550e+08 3.389950e+08 4.179200e+08## Mean 1.093957e+08 1.172089e+08 3.112396e+08 3.593710e+08## Median1.021000e+08 9.410500e+07 2.996700e+08 3.414700e+08## Sum 2.756772e+10 2.953664e+10 7.812114e+10 9.03e+10## SE Mean2.433611e+06 4.331290e+06 4.376432e+06 6.984484e+06## LCL Mean 1.046028e+08 1.086786e+08 3.026202e+08 3.456151e+08## UCL Mean 1.141886e+08 1.257392e+08 3.198590e+08 3.731270e+08## Variance 1.492461e+15 4.727538e+15 4.807442e+15 1.224454e+16## Stdev 3.863238e+07 6.875709e+07 6.933572e+07 1.106550e+08## Skewness 3.42e+00 3.046742e+00 1.478708e+00 1.363823e+00## Kurtosis 1.612326e+01 1.122161e+01 3.848619e+00 3.277164e+00
在下文中，我们对上面显示的一些相关指标进行了评论。
平均值
每日交易量具有正平均值的年份是：
## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" "" ""## [11] "" ""
所有每日交易量均值按升序排列。
#### Mean 92885159 109395714 117208889 118443373 131260600 180413294 93373## ## Mean 244957450 276716364 280053730 311239602 359371036
中位数
每日交易量中位数为正的年份是：
## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" "" ""## [11] "" ""
所有每日成交量中值均按升序排列。
## ## Median 81445000 94105000 102100000 110925000 125195000 167125000 190505000## ## Median 235090000 244320000 256970000 299670000 341470000
偏度
每日交易量出现正偏的年份是：
## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" "" ""## [11] "" ""
每日交易量偏度值均按升序排列。
## ## Skewness 0.94224 1.037015 1.203283 1.363823 1.452082 1.478708 1.878239## ## Skewness 3.046742 3.42 3.454971 3.551752 6.619268
峰度
有正峰度的年份是：
## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" "" ""## [11] "" ""
按升序排列。
## ## Kurtosis 0.658481 1.48254 2.064821 3.214065 3.277164 3.848619 5.63108## ## Kurtosis 11.22161 16.12326 18.52581 19.00989 58.56136
箱形图
从开始交易量开始下降，出现了显着增长。的交易量甚至超过了和其他年份。
密度图
shapiro检验
## result## 6.608332e-09## 3.555102e-10## 1.023147e-10## 9.890576e-13## 2.681476e-16## 1.866544e-20## 6.906596e-21## 5.304227e-27## 2.739912e-21## 6.640215e-23## 4.543843e-12## 9.288371e-11
正态分布的零假设被拒绝。
QQ图
QQplots直观地确认了每日交易量分布的非正态情况。
每日交易量对数比率探索性分析
与对数收益类似，我们可以将交易量对数比率定义为
vt：= ln(Vt/Vt−1)
我们可以通过PerformanceAnalytics包中的CalculateReturns对其进行计算并将其绘制出来。
plot(vol_log_ratio)
将交易量对数比率时间序列数据和时间轴索引映射到数据框。
head(dvol_df)## year value## 1 -0.233511910## 2 -0.096538449## 3 -0.051109832## 4 0.007533076## 5 0.006109458## 6 0.144221282tail(vol_df)##year value## 3014 0.44563907## 3015 -1.07149878## 3016 0.33945998## 3017 -0.05980236## 3018 -0.19249224## 3019 -0.15278959
基本统计摘要
## ## nobs 250.000000 253.000000 252.000000 252.000000 252.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum-1.606192 -1.122526 -1.071225 -1.050181 -2.301514## Maximum 0.775961 0.724762 0.881352 1.041216 2.441882## 1. Quartile -0.123124 -0.128815 -0.162191 -0.170486 -0.157758## 3. Quartile 0.130056 0.145512 0.169233 0.179903 0.137108## Mean -0.002685 0.001203 -0.001973 -0.001550 0.000140## Median -0.010972 0.002222 -0.031748 -0.004217 -0.012839## Sum-0.671142 0.304462 -0.497073 -0.390677 0.035162## SE Mean 0.016984 0.016196 0.017618 0.019318 0.026038## LCL Mean-0.036135 -0.030693 -0.036670 -0.039596 -0.051141## UCL Mean0.030766 0.033100 0.032725 0.036495 0.051420## Variance0.072112 0.066364 0.078219 0.094041 0.170850## Stdev 0.268536 0.257612 0.279677 0.306661 0.413341## Skewness-0.802037 -0.632586 0.066535 -0.150523 0.407226## Kurtosis5.345212 2.616615 1.500979 1.353797 14.554642## ## nobs 250.000000 252.000000 252.000000 252.000000 252.000000## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000## Minimum-2.158960 -1.386215 -2.110572 -1.326016 -1.336471## Maximum 1.292956 1.245202 2.008667 1.130289 1.319713## 1. Quartile -0.152899 -0.145444 -0.144280 -0.143969 -0.134011## 3. Quartile 0.144257 0.149787 0.134198 0.150003 0.141287## Mean0.001642 -0.002442 0.000200 0.000488 0.004228## Median -0.000010 -0.004922 0.013460 0.004112 -0.002044## Sum 0.410521 -0.615419 0.050506 0.123080 1.065480## SE Mean 0.021293 0.019799 0.023514 0.019010 0.019089## LCL Mean-0.040295 -0.041435 -0.046110 -0.036952 -0.033367## UCL Mean0.043579 0.036551 0.046510 0.037929 0.041823## Variance0.113345 0.098784 0.139334 0.091071 0.091826## Stdev 0.336667 0.314299 0.373274 0.301780 0.303028## Skewness-0.878227 -0.297951 -0.209417 -0.285918 0.083826## Kurtosis8.115847 4.681120 9.850061 4.754926 4.647785## ## nobs 251.000000 251.000000## NAs 0.000000 0.000000## Minimum-0.817978 -1.071499## Maximum 0.915599 0.926101## 1. Quartile -0.112190 -0.119086## 3. Quartile 0.110989 0.112424## Mean -0.000017 0.000257## Median -0.006322 0.003987## Sum-0.004238 0.064605## SE Mean 0.013446 0.014180## LCL Mean-0.026500 -0.027671## UCL Mean0.026466 0.028185## Variance0.045383 0.050471## Stdev 0.213032 0.224658## Skewness0.088511 -0.281007## Kurtosis3.411036 4.335748
在下文中，我们对一些相关的上述指标进行了具体评论。
平均值
每日交易量对数比率具有正平均值的年份是：
## [1] "" "" "" "" "" "" ""
所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。
## ## Mean -0.002685 -0.002442 -0.001973 -0.00155 -1.7e-05 0.00014 2e-04#### Mean 0.000257 0.000488 0.001203 0.001642 0.004228
中位数
每日交易量对数比率具有正中位数的年份是：
## [1] "" "" "" ""
道琼斯所有每日成交量比率的中位数均按升序排列。
## ## Median -0.031748 -0.012839 -0.010972 -0.006322 -0.004922 -0.004217## ## Median -0.002044 -1e-05 0.002222 0.003987 0.004112 0.01346
偏度
每日成交量比率具有正偏的年份是：
## [1] "" "" "" ""
所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。
#### Skewness -0.878227 -0.802037 -0.632586 -0.297951 -0.285918 -0.281007#### Skewness -0.209417 -0.150523 0.066535 0.083826 0.088511 0.407226
峰度
有正峰度的年份是：
## [1] "" "" "" "" "" "" "" "" "" ""## [11] "" ""
均按升序排列。
## ## Kurtosis 1.353797 1.500979 2.616615 3.411036 4.335748 4.647785 4.68112## ## Kurtosis 4.754926 5.345212 8.115847 9.850061 14.55464
箱形图
可以在、和发现正的极端值。在、、、可以发现负的极端值。
密度图
shapiro检验
## result## 3.695053e-09## 6.160136e-07## 2.083475e-04## 1.500060e-03## 3.434415e-18## 8.417627e-12## 1.165184e-10## 1.954662e-16## 5.261037e-11## 7.144940e-11## 1.551041e-08## 3.069196e-09
基于报告的p值，我们可以拒绝所有正态分布的零假设。
QQ图
在所有报告的年份都可以发现偏离正态状态。
对数收益率GARCH模型
我将为工业平均指数（DJIA）的每日对数收益率建立一个ARMA-GARCH模型。
这是工业平均指数每日对数收益的图。
plot(ret)
离群值检测
Performance Analytics程序包中的Return.clean函数能够清除异常值。在下面，我们将原始时间序列与调整离群值后的进行比较。
clean(ret, "boudt")
作为对波动率评估的更为保守的方法，本文将以原始时间序列进行分析。
相关图
以下是自相关和偏相关图。
acf(ret)
pacf(dj_ret)
上面的相关图表明p和q> 0的一些ARMA（p，q）模型。将在本分析的该范围内对此进行验证。
单位根检验
我们运行Augmented Dickey-Fuller检验。
## ## ############################################### ## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # ## ############################################### ## ## Test regression none ## ## ## Call:## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)## ## Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max ## -0.081477 -0.004141 0.000762 0.005426 0.098777 ## ## Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## z.lag.1 -1.16233 0.02699 -43.058 < 2e-16 ***## z.diff.lag 0.06325 0.01826 3.464 0.000539 ***## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## ## Residual standard error: 0.01157 on 2988 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.5484, Adjusted R-squared: 0.5481 ## F-statistic: 1814 on 2 and 2988 DF, p-value: < 2.2e-16## ## ## Value of test-statistic is: -43.0578 ## ## Critical values for test statistics: ## 1pct 5pct 10pct## tau1 -2.58 -1.95 -1.62
基于报告的检验统计数据与临界值的比较，我们拒绝单位根存在的零假设。
ARMA模型
现在，我们确定时间序列的ARMA结构，以便对结果残差进行ARCH效应检验。ACF和PACF系数拖尾表明存在ARMA（2,2）。我们利用auto.arima（）函数开始构建。
## Series: ret ## ARIMA(2,0,4) with zero mean ## ## Coefficients:##ar1ar2ma1ma2ma3ma4## 0.4250 -0.8784 -0.5202 0.8705 -0.0335 -0.0769## s.e. 0.0376 0.0628 0.0412 0.0672 0.0246 0.0203## ## sigma^2 estimated as 0.0001322: log likelihood=9201.19## AIC=-18388.38 AICc=-18388.34 BIC=-18346.29## ## Training set error measures:## ME RMSE MAE MPE MAPEMASE## Training set 0.0002416895 0.01148496 0.007505056 NaN Inf 0.6687536## ACF1## Training set -0.002537238
建议使用ARMA（2,4）模型。但是，ma3系数在统计上并不显着，进一步通过以下方法验证：
## z test of coefficients:## ##Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) ## ar1 0.425015 0.037610 11.3007 < 2.2e-16 ***## ar2 -0.878356 0.062839 -13.9779 < 2.2e-16 ***## ma1 -0.53 0.041217 -12.6204 < 2.2e-16 ***## ma2 0.870457 0.067211 12.9511 < 2.2e-16 ***## ma3 -0.033527 0.024641 -1.3606 0.1736335 ## ma4 -0.076882 0.020273 -3.7923 0.0001492 ***## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
因此，我们将MA阶q <= 2作为约束。
## Series: dj_ret ## ARIMA(2,0,2) with zero mean ## ## Coefficients:## ar1ar2ma1ma2## -0.5143 -0.4364 0.4212 0.3441## s.e. 0.1461 0.1439 0.1512 0.1532## ## sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood=9196.33## AIC=-18382.66 AICc=-18382.64 BIC=-18352.6## ## Training set error measures:## ME RMSE MAE MPE MAPEMASE## Training set 0.0002287171 0.01150361 0.007501925 Inf Inf 0.6684746## ACF1## Training set -0.002414944
现在，所有系数都具有统计意义。
## z test of coefficients:## ##Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) ## ar1 -0.51428 0.14613 -3.5192 0.0004328 ***## ar2 -0.43640 0.14392 -3.0322 0.0024276 ** ## ma1 0.42116 0.15121 2.7853 0.0053485 ** ## ma2 0.34414 0.15323 2.2458 0.0247139 * ## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
使用ARMA（2,1）和ARMA（1,2）进行的进一步验证得出的AIC值高于ARMA（2,2）。因此，ARMA（2,2）是更可取的。这是结果。
## Series: dj_ret ## ARIMA(2,0,1) with zero mean ## ## Coefficients:## ar1ar2ma1## -0.4619 -0.1020 0.3646## s.e. 0.1439 0.0204 0.1438## ## sigma^2 estimated as 0.0001327: log likelihood=9194.1## AIC=-18380.2 AICc=-18380.19 BIC=-18356.15## ## Training set error measures:## ME RMSE MAE MPE MAPEMASE## Training set 0.0002370597 0.01151213 0.007522059 Inf Inf 0.6702687## ACF1## Training set 0.0009366271coeftest(auto_model3)## ## z test of coefficients:## ##Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) ## ar1 -0.461916 0.143880 -3.2104 0.001325 ** ## ar2 -0.10 0.020377 -5.0062 5.552e-07 ***## ma1 0.364628 0.143818 2.5353 0.011234 * ## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
所有系数均具有统计学意义。
## ARIMA(1,0,2) with zero mean ## ## Coefficients:## ar1ma1ma2## -0.4207 0.3259 -0.0954## s.e. 0.1488 0.1481 0.0198## ## sigma^2 estimated as 0.0001328: log likelihood=9193.01## AIC=-18378.02 AICc=-18378 BIC=-18353.96## ## Training set error measures:## MERMSE MAE MPE MAPEMASE## Training set 0.0002387398 0.0115163 0.007522913 Inf Inf 0.6703448## ACF1## Training set -0.001958194coeftest(auto_model4)## ## z test of coefficients:## ##Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) ## ar1 -0.420678 0.148818 -2.8268 0.004702 ** ## ma1 0.325918 0.148115 2. 0.027776 * ## ma2 -0.095407 0.019848 -4.8070 1.532e-06 ***## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
所有系数均具有统计学意义。此外，我们使用TSA软件包报告中的eacf（）函数。
## AR/MA## 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13## 0 x x x o x o o o o o o o o x ## 1 x x o o x o o o o o o o o o ## 2 x o o x x o o o o o o o o o ## 3 x o x o x o o o o o o o o o ## 4 x x x x x o o o o o o o o o ## 5 x x x x x o o x o o o o o o ## 6 x x x x x x o o o o o o o o ## 7 x x x x x o o o o o o o o o
以“ O”为顶点的左上三角形位于（p，q）= {（1,2 ,,（2,2），（1,3）}}内，它表示一组潜在候选对象（p，q）值。ARMA（1,2）模型已经过验证。ARMA（2,2）已经是候选模型。让我们验证ARMA（1,3）。
## Call:## ## Coefficients:## ar1ma1ma2ma3## -0.2057 0.1106 -0.0681 0.0338## s.e. 0. 0. 0.0263 0.0215## ## sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood = 9193.97, aic = -18379.94coeftest(arima_model5)## ## z test of coefficients:## ##Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) ## ar1 -0.205742 0.80 -1.0227 0.306461 ## ma1 0.110599 0.75 0.5517 0.581167 ## ma2 -0.068124 0.026321 -2.5882 0.009647 **## ma3 0.033832 0.021495 1.5739 0.115501 ## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
只有一个系数具有统计意义。
结论是，我们选择ARMA（2,2）作为均值模型。现在，我们可以继续进行ARCH效果检验。
ARCH效应检验
现在，我们可以检验模型残差上是否存在ARCH效应。如果ARCH效应对于我们的时间序列的残差在统计上显着，则需要GARCH模型。
## ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects## ## data: model_residuals - mean(model_residuals)## Chi-squared = 986.82, df = 12, p-value < 2.2e-16
基于报告的p值，我们拒绝没有ARCH效应的原假设。
让我们看一下残差相关图。
条件波动率
条件均值和方差定义为：
μt：= E（rt | Ft-1）σt2：= Var（rt | Ft-1）= E [（rt-μt）2 | Ft-1]
条件波动率可以计算为条件方差的平方根。
eGARCH模型
将sGARCH作为方差模型的尝试未获得具有统计显着性系数的结果。而指数GARCH（eGARCH）方差模型能够捕获波动率内的不对称性。要检查DJIA对数收益率内的不对称性，显示汇总统计数据和密度图。
## DAdjusted## nobs 3019.000000## NAs 0.000000## Minimum -0.08## Maximum 0.105083## 1. Quartile -0.003991## 3. Quartile0.005232## Mean 0.000207## Median0.000551## Sum 0.625943## SE Mean 0.000211## LCL Mean -0.000206## UCL Mean 0.000621## Variance 0.000134## Stdev 0.011593## Skewness -0.141370## Kurtosis 10.92
负偏度值确认分布内不对称性的存在。
这给出了密度图。
我们继续提出eGARCH模型作为方差模型（针对条件方差）。更准确地说，我们将使用ARMA（2,2）作为均值模型，指数GARCH（1,1）作为方差模型对ARMA-GARCH进行建模。
在此之前，我们进一步强调ARMA（0,0）在这种情况下不令人满意。ARMA-GARCH：ARMA（0,0）+ eGARCH（1,1）
## ## *---------------------------------*## *GARCH Model Fit *## *---------------------------------*## ## Conditional Variance Dynamics ## -----------------------------------## GARCH Model : eGARCH(1,1)## Mean Model : ARFIMA(0,0,0)## Distribution : sstd ## ## Optimal Parameters## ------------------------------------## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## mu0.000303 0.000117 2.5933 0.009506## omega -0.291302 0.016580 -17.5699 0.000000## alpha1 -0.174456 0.013913 -12.5387 0.000000## beta1 0.969255 0.001770 547.6539 0.000000## gamma1 0.188918 0.021771 8.6773 0.000000## skew 0.870191 0.021763 39.9848 0.000000## shape 6.118380 0.750114 8.1566 0.000000## ## Robust Standard Errors:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## mu0.000303 0.000130 2.3253 0.05## omega -0.291302 0.014819 -19.6569 0.000000## alpha1 -0.174456 0.016852 -10.3524 0.000000## beta1 0.969255 0.001629 595.0143 0.000000## gamma1 0.188918 0.031453 6.0063 0.000000## skew 0.870191 0.022733 38.2783 0.000000## shape 6.118380 0.834724 7.3298 0.000000## ## LogLikelihood : 10138.63 ## ## Information Criteria## ------------------------------------## ## Akaike -6.7119## Bayes -6.6980## Shibata-6.7119## Hannan-Quinn -6.7069## ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals## ------------------------------------##statistic p-value## Lag[1] 5.475 0.01929## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]6.011 0.02185## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]7.712 0.03472## d.o.f=0## H0 : No serial correlation## ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals## ------------------------------------##statistic p-value## Lag[1] 1.342 0.2467## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]2.325 0.5438## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]2.971 0.7638## d.o.f=2## ## Weighted ARCH LM Tests## ------------------------------------## Statistic Shape Scale P-Value## ARCH Lag[3] 0.3229 0.500 2.000 0.5699## ARCH Lag[5] 1.4809 1.440 1.667 0.5973## ARCH Lag[7] 1.6994 2.315 1.543 0.7806## ## Nyblom stability test## ------------------------------------## Joint Statistic: 4.0468## Individual Statistics: ## mu0.2156## omega 1.0830## alpha1 0.5748## beta1 0.8663## gamma1 0.3994## skew 0.1044## shape 0.4940## ## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)## Joint Statistic:1.69 1.9 2.35## Individual Statistic:0.35 0.47 0.75## ## Sign Bias Test## ------------------------------------##t-value prob sig## Sign Bias 1.183 0.23680 ## Negative Sign Bias 2.180 0.02932 **## Positive Sign Bias 1.554 0.1 ## Joint Effect 8.498 0.03677 **## ## ## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:## ------------------------------------## group statistic p-value(g-1)## 1 2037.240.00741## 2 3042.920.04633## 3 4052.860.06831## 4 5065.550.05714## ## ## Elapsed time : 0.6527421
所有系数均具有统计学意义。但是，根据以上报告的p值的标准化残差加权Ljung-Box检验，我们确认该模型无法捕获所有ARCH效果（我们拒绝了残差内无相关性的零假设） ）。
作为结论，我们通过在下面所示的GARCH拟合中指定ARMA（2,2）作为均值模型来继续进行。
ARMA-GARCH：ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）
## ## *---------------------------------*## *GARCH Model Fit *## *---------------------------------*## ## Conditional Variance Dynamics ## -----------------------------------## GARCH Model : eGARCH(1,1)## Mean Model : ARFIMA(2,0,2)## Distribution : sstd ## ## Optimal Parameters## ------------------------------------## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## ar1-0.47642 0.026115 -18.2433 0## ar2-0.57465 0.052469 -10.9523 0## ma10.42945 0.025846 16.6157 0## ma20.56258 0.054060 10.4066 0## omega -0.31340 0.003497 -89.6286 0## alpha1 -0.17372 0.011642 -14.9222 0## beta1 0.96598 0.000027 35240.1590 0## gamma1 0.18937 0.011893 15.9222 0## skew0.84959 0.03 42.3469 0## shape 5.99161 0.7013138.5434 0## ## Robust Standard Errors:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## ar1-0.47642 0.007708 -61.8064 0## ar2-0.57465 0.018561 -30.9608 0## ma10.42945 0.007927 54.1760 0## ma20.56258 0.017799 31.6074 0## omega -0.31340 0.003263 -96.0543 0## alpha1 -0.17372 0.012630 -13.7547 0## beta1 0.96598 0.000036 26838.0412 0## gamma1 0.18937 0.013003 14.5631 0## skew0.84959 0.09 42.2911 0## shape 5.99161 0.7073248.4708 0## ## LogLikelihood : 10140.27 ## ## Information Criteria## ------------------------------------## ## Akaike -6.7110## Bayes -6.6911## Shibata-6.7110## Hannan-Quinn -6.7039## ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals## ------------------------------------##statistic p-value## Lag[1] 0.03028 0.8619## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][11] 5.69916 0.6822## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][19] 12.14955 0.1782## d.o.f=4## H0 : No serial correlation## ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals## ------------------------------------##statistic p-value## Lag[1] 1.666 0.1967## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]2.815 0.4418## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]3.457 0.6818## d.o.f=2## ## Weighted ARCH LM Tests## ------------------------------------## Statistic Shape Scale P-Value## ARCH Lag[3] 0.1796 0.500 2.000 0.6717## ARCH Lag[5] 1.5392 1.440 1.667 0.5821## ARCH Lag[7] 1.6381 2.315 1.543 0.7933## ## Nyblom stability test## ------------------------------------## Joint Statistic: 4.4743## Individual Statistics: ## ar1 0.07045## ar2 0.37070## ma1 0.07702## ma2 0.39283## omega 1.00123## alpha1 0.49520## beta1 0.79702## gamma1 0.51601## skew 0.07163## shape 0.55625## ## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)## Joint Statistic:2.29 2.54 3.05## Individual Statistic:0.35 0.47 0.75## ## Sign Bias Test## ------------------------------------##t-value prob sig## Sign Bias 0.4723 0.63677 ## Negative Sign Bias 1.7969 0.07246 *## Positive Sign Bias 2.0114 0.04438 **## Joint Effect 7.7269 0.05201 *## ## ## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:## ------------------------------------## group statistic p-value(g-1)## 1 2046.18 0.0004673## 2 3047.73 0.0156837## 3 4067.07 0.0034331## 4 5065.51 0.0574582## ## ## Elapsed time : 0.93679
所有系数均具有统计学意义。在标准化残差或标准化平方残差内未发现相关性。模型正确捕获所有ARCH效果。然而：
*对于某些模型参数，Nyblom稳定性检验无效假设认为模型参数随时间是恒定的
*正偏差为零的假设在5％的显着性水平上被拒绝；这种检验着重于正面冲击的影响
*拒绝了标准化残差的经验和理论分布相同的Pearson拟合优度检验原假设
注意：ARMA（1,2）+ eGARCH（1,1）拟合还提供统计上显着的系数，标准化残差内没有相关性，标准化平方残差内没有相关性，并且正确捕获了所有ARCH效应。但是，偏差检验在5％时不如ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型令人满意。
进一步显示诊断图。
我们用平均模型拟合（红线）和条件波动率（蓝线）显示了原始的对数收益时间序列。
p <- addSeries(mean_model_fit, col = 'red', on = 1)p <- addSeries(cond_volatility, col = 'blue', on = 1)p
模型方程式
结合ARMA（2,2）和eGARCH模型，我们可以：
yt − ϕ1yt−1 − ϕ2yt−2 = ϕ0 + ut + θ1ut−1 +θ2ut-2ut= σtϵt，ϵt = N（0,1）ln（σt2）=ω+ ∑j = 1q（αjϵt−j2 +γ （ϵt−j–E | ϵt−j |））+ ∑i =1pβiln（σt−12）
使用模型结果系数，结果如下。
yt +0.476 yt-1 +0.575 yt-2 = ut +0.429 ut-1 +0.563 ut-2ut = σtϵt，ϵt = N（0,1）ln（σt2）= -0.313 -0.174ϵt-12 +0.189（ ϵt−1–E | ϵt−1 |））+ 0.966 ln（σt−12）
波动率分析
这是由ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型得出的条件波动图。
plot(cond_volatility)
显示了年条件波动率的线线图。
pl <- lapply(:, function(x) { plot(cond_volatility[as.character(x)])pl
显示了按年列出的条件波动率箱图。
之后，日波动率基本趋于下降。在，波动率低于其他任何年。不同的是，与相比，我们在的波动性显着增加。
