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上一篇博客: 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )

一、 一阶谓词逻辑公式

命题公式 :基本命题 ( 命题常元/变元 ) 和 若干 联结词 形成有限长度的字符串 ;

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果 AAA 是命题公式 , 则 (¬A)(\lnot A)(¬A) 也是命题公式 ;

③ 如果 A,BA,BA,B 是命题公式 , 则 (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)(A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B)(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )

一阶谓词逻辑公式 :在 命题公式 的基础上 , 加上一条条件 :

如果 AAA 是公式 , 则 ∀xA\forall x A∀xA 和 ∃xA\exist x A∃xA 也是公式

一阶谓词逻辑公式相关概念 :以 ∀xA\forall x A∀xA , ∃xA\exist x A∃xA 公式为例 ;

指导变元 :∀,∃\forall , \exist∀,∃ 量词后面的 xxx 称为 指导变元

辖域 :AAA 称为 对应量词的辖域 ;

约束出现 :在 ∀x\forall x∀x , ∃x\exist x∃x 辖域 AAA 中 , xxx 出现都是受约束的 , 称为约束出现 ;

自由出现 :辖域 AAA 中 , 不是约束出现的变元 , 都是自由出现 ;

二、 一阶谓词逻辑公式 示例

一阶谓词逻辑公式 :

∀x(F(x)→∃y(G(y)∧H(x,y,z)))\forall x ( F(x) \to \exist y ( G(y) \land H(x,y,z) ) )∀x(F(x)→∃y(G(y)∧H(x,y,z)))

公式解读 :对于 所有满足 FFF 性质的 xxx , 都 存在满足 GGG 性质的对象 yyy , 使得 x,y,zx,y,zx,y,z 满足关系 HHH ;

∀x\forall x∀x 的 辖域 是 (F(x)→∃y(G(y)∧H(x,y,z)))( F(x) \to \exist y ( G(y) \land H(x,y,z) ) )(F(x)→∃y(G(y)∧H(x,y,z)))

∃y\exist y∃y 的 辖域 是 (G(y)∧H(x,y,z)))( G(y) \land H(x,y,z) ) )(G(y)∧H(x,y,z)))

x,yx , yx,y 在量词后面 , 是 指导变元 , 是 约束出现 的变元 ;

zzz 没有在量词后面 , 是 自由出现 的变元 ;

指导变元 类似于程序中预先定义的 变量/参数 , 自由出现 的变元 相当于程序中的 临时变量 ,