逆矩阵

1 矩阵行列式2 伴随矩阵3 逆矩阵3.1 逆矩阵概念3.2 逆矩阵的性质

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1 矩阵行列式

方阵的行列式：将矩阵中的元素拿出来，用行列式的形式表示

A=[2,2,23,3,31,1,1]∣A∣=∣2,2,23,3,31,1,1∣A = \left[ \begin{matrix} 2,2,2\\3,3,3\\1,1,1 \end{matrix} \right]\space \space \space \space |A|=\begin{vmatrix} 2,2,2\\3,3,3\\1,1,1\end{vmatrix}A=⎣⎡​2,2,23,3,31,1,1​⎦⎤​∣A∣=∣∣​2,2,23,3,31,1,1​∣∣​

如何理解这个里的矩阵行列式？ 可以把矩阵当做一个类，那么就可以把行列式理解其中的一个属性，矩阵还有特征值、特征向量等等属性

方阵行列式的性质：

∣AT∣=∣A∣|A^{T}|=|A|∣AT∣=∣A∣∣kA∣=kn∣A∣|kA| = k^{n}|A|∣kA∣=kn∣A∣∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB| = |A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣

例题，AAA为5阶矩阵，∣A∣=3|A| = 3∣A∣=3

(1) ∣−A∣=(−1)5∣A∣=−3|-A| = (-1)^{5}|A| = -3∣−A∣=(−1)5∣A∣=−3

(2) ∣2AT∣=(2)5∣A∣=(2)5∗3|2A^{T}|=(2)^{5}|A| = (2)^{5}*3∣2AT∣=(2)5∣A∣=(2)5∗3

(3) ∣∣A∣A∣=∣3A∣=36||A|A|= |3A| = 3^{6}∣∣A∣A∣=∣3A∣=36

(4) ∣∣∣∣A∣A∣A∣A∣=∣∣∣3A∣A∣A∣=∣∣36A∣A∣=∣∣∣3A∣A∣A∣=∣∣36A∣A∣=∣3303A∣∣=3156||||A|A|A|A| = |||3A|A|A|=||3^{6}A|A|=|||3A|A|A|=||3^{6}A|A|=|3^{30}3A||=3^{156}∣∣∣∣A∣A∣A∣A∣=∣∣∣3A∣A∣A∣=∣∣36A∣A∣=∣∣∣3A∣A∣A∣=∣∣36A∣A∣=∣3303A∣∣=3156

2 伴随矩阵

只有方阵才有伴随矩阵。矩阵的伴随矩阵：求所有元素的代数余子式，按行求的代数余子式按列放构成的矩阵，比如

A=(1,1,12,1,31,1,4)A= \left(\begin{matrix} 1,1,1\\2,1,3\\1,1,4\end{matrix}\right)A=⎝⎛​1,1,12,1,31,1,4​⎠⎞​A11=1,A12=−5,A13=1,A21=−3,A22=3,A23=0,A31=2,A32=−1,A33=−1A_{11}=1,A_{12}=-5,A_{13}=1,A_{21}=-3,A_{22}=3,A_{23}=0,A_{31}=2,A_{32}=-1,A_{33}=-1A11​=1,A12​=−5,A13​=1,A21​=−3,A22​=3,A23​=0,A31​=2,A32​=−1,A33​=−1

求解出AAA的伴随矩阵为A∗=(A11,A21,A31A12,A22,A32A13,A23,A33)=(1,−3,2−5,3,−11,0,−1)A^{*}=\left(\begin{matrix} A_{11},A_{21},A_{31}\\A_{12},A_{22},A_{32}\\A_{13},A_{23},A_{33}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1,-3,2\\-5,3,-1\\1,0,-1\end{matrix}\right)A∗=⎝⎛​A11​,A21​,A31​A12​,A22​,A32​A13​,A23​,A33​​⎠⎞​=⎝⎛​1,−3,2−5,3,−11,0,−1​⎠⎞​

任意方阵AAA,伴随矩阵的性质：

（1）按行求，按列放（2）AA∗=A∗A=∣A∣EAA^{*} =A^{*} A = |A|EAA∗=A∗A=∣A∣E，证明过程直接将式子展开，元素之间相乘后化简就是了（3）∣AA∗∣=∣∣A∣E∣⇒∣A∣∣A∗∣=∣A∣n⇒∣A∗∣=∣A∣n−1|AA^{*}| = ||A|E| \Rightarrow |A||A^{*}| = |A|^{n}\Rightarrow |A^{*}| = |A|^{n-1}∣AA∗∣=∣∣A∣E∣⇒∣A∣∣A∗∣=∣A∣n⇒∣A∗∣=∣A∣n−1，恒成立（4）A−1=1∣A∣A∗,A∗=∣A∣A−1A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*},A^{*} = |A|A^{-1}A−1=∣A∣1​A∗,A∗=∣A∣A−1 ,这里就是使用了下面的逆矩阵的性质

3 逆矩阵

3.1 逆矩阵概念

假使AAA为n阶方阵，如果存在n阶方阵BBB，满足AB=BA=EAB = BA =EAB=BA=E，则称AAA的逆矩阵就为BBB，记作A−1=BA^{-1} = BA−1=B

逆矩阵性质：

（1）未必所有的方阵都可逆，比如零矩阵（2）若方阵可逆，那么逆矩阵唯一（3）∣A∣≠0|A|\not=0∣A∣=0，说明方阵为非奇异、非退化、满秩矩阵，可逆（4）AAA可逆的充要条件为∣A∣≠0，A−1=1∣A∣A∗|A|\not=0，A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}∣A∣=0，A−1=∣A∣1​A∗推论（条件比定义的要求要弱一点）：AAA为n阶方阵，如果存在n阶方阵BBB,满足AB=EAB =EAB=E满足BA=EBA =EBA=E，则AAA可逆，A−1=BA^{-1} = BA−1=B

逆矩阵求解：

（1）按照定义，可以使用伴随矩阵求解，但是过程太麻烦了

（2）初等变换法，一般使用的方式

例题，A=[1,1,12,1,31,1,4]A= \left[\begin{matrix} 1,1,1\\2,1,3\\1,1,4\end{matrix}\right]A=⎣⎡​1,1,12,1,31,1,4​⎦⎤​，其中∣A∣≠0|A| \not=0∣A∣=0,求解A−1A^{-1}A−1

解：按照定义求解，上面已经得到了AAA的伴随矩阵，这里直接就进行计算出∣A∣|A|∣A∣,即可

A−1=1∣A∣A∗=13(1,−3,2−5,3,−11,0,−1)A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*} = \frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 1,-3,2\\-5,3,-1\\1,0,-1\end{matrix}\right)A−1=∣A∣1​A∗=31​⎝⎛​1,−3,2−5,3,−11,0,−1​⎠⎞​

例题，A+B=ABA+B=ABA+B=AB,证明A−EA-EA−E可逆，

解：这种只给了式子证明可逆的行为，就是要求努力拼凑出定义的式子，将EEE凑在右边时，就出来了

AB−A−B+E=E⇒(A−E)(B−E)=EAB - A -B+E= E \Rightarrow (A-E)(B-E)=EAB−A−B+E=E⇒(A−E)(B−E)=E

例题，A=[4,2,31,1,0−1,2,3]A= \left[\begin{matrix} 4,2,3\\1,1,0\\-1,2,3\end{matrix}\right]A=⎣⎡​4,2,31,1,0−1,2,3​⎦⎤​，已知AX=A+2XAX = A+2XAX=A+2X，求解XXX

解：先将给出的等式进行化简，如下(要特别注意矩阵相乘的时候的位置，“左乘”和“右乘”是有很大区别的)

AX−2X=A⇒(A−2E)X=A⇒X=(A−2E)−1AAX-2X = A \Rightarrow (A-2E)X =A \Rightarrow X = (A-2E)^{-1}AAX−2X=A⇒(A−2E)X=A⇒X=(A−2E)−1A

特别注意：

1）矩阵相乘时候的方向位置很重要，(A−2E)−1A(A-2E)^{-1}A(A−2E)−1A和A(A−2E)−1A(A-2E)^{-1}A(A−2E)−1不一样

2）没有矩阵和数值的加减法，因此要自觉补充EEE，A−2⇒A−2EA-2 \Rightarrow A-2EA−2⇒A−2E

3）在分母上不要出现矩阵，不应该出现AA−2E\frac{A}{A-2E}A−2EA​

4）先判断可逆，再写逆矩阵。在使用(A−2E)−1(A-2E)^{-1}(A−2E)−1之前，一定要先判断A−2EA-2EA−2E是可逆的，也就是行列式的值不为0.（容易掉进坑里面去）

5）伴随矩阵求解

6）初等变换求解（之后梳理）

3.2 逆矩阵的性质

（5） AAA可逆，A−1A^{-1}A−1可逆，则(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A(A−1)−1=A，对比转置的性质(AT)T=A(A^{T})^{T} = A(AT)T=A（6） A,BA,BA,B均可逆，ABABAB可逆，(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1，对比转置的性质(AB)T=BTAT(AB)^{T}= B^{T}A^{T}(AB)T=BTAT（7） AAA可逆， ATA^{T}AT可逆，则(AT)−1=(A−1)T,k≠0,(kA)−1=1kA−1(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}, k\not=0,(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}(AT)−1=(A−1)T,k=0,(kA)−1=k1​A−1（8） AAA可逆，∣A−1∣=∣A∣−1|A^{-1}| = |A|^{-1}∣A−1∣=∣A∣−1（9） AAA可逆， A∗A^{*}A∗也可逆，则(A∗)−1=1∣A∣A(A^{*})^{-1}= \frac{1}{|A|}A(A∗)−1=∣A∣1​A

最后结合这伴随矩阵和逆矩阵的性质，求解(A∗)∗(A^{*})^{*}(A∗)∗和((A∗)∗)∗((A^{*})^{*})^{*}((A∗)∗)∗

解：根据A∗=∣A∣A−1A^{*} = |A|A^{-1}A∗=∣A∣A−1，所以(A∗)∗=∣A∗∣(A∗)−1=∣A∣n−1A∣A∣=∣A∣n−2A(A^{*})^{*} =|A^{*}|(A^{*})^{-1}=|A|^{n-1}\frac{A}{|A|} = |A|^{n-2}A(A∗)∗=∣A∗∣(A∗)−1=∣A∣n−1∣A∣A​=∣A∣n−2A

((A∗)∗)∗=∣A∗∣n−2A∗=(∣A∣n−1)n−2∣A∣A−1=∣A∣n2−3n+3A−1((A^{*})^{*})^{*} =|A^{*}|^{n-2}A^{*} =(|A|^{n-1})^{n-2}|A|A^{-1}=|A|^{n^{2}-3n+3}A^{-1}((A∗)∗)∗=∣A∗∣n−2A∗=(∣A∣n−1)n−2∣A∣A−1=∣A∣n2−3n+3A−1