向欧拉大神致敬
欧拉计划之——和的平方与平方的和之差
和的平方与平方的和之差平方和&立方和公式推导平方和公式推导证法一（归纳法）：证法二：证法三：证法四(排列组合法)：证法五：立方和公式推导证法一：(归纳法)证法二：证法三：和的平方与平方的和之差
前十个自然数的平方的和为：
12+22+32+⋯+102=3851^2+2^2+3^2+⋯+10^2=38512+22+32+⋯+102=385
而前十个自然数和的平方为：
(1+2+3+⋯+10)2=552=3025(1+2+3+⋯+10)^2=55^2=3025(1+2+3+⋯+10)2=552=3025
两者的差为3025−385=2640，求前一百个自然数的和的平方与平方的和之间的差值。
分析：
此题可以直接使用求和公式求解，则：
S(n)=(n(n+1)2)2−n(n+1)(2n+1)6=(n−1)n(n+1)(3n+2)12S(n)=(\frac{n(n+1)}{2})^2−\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n−1)n(n+1)(3n+2)}{12}S(n)=(2n(n+1))2−6n(n+1)(2n+1)=12(n−1)n(n+1)(3n+2)
代入S(100)S_{(100)}S(100)可以直接算出结果，代码如下：
def main(n):ans = n * (n - 1) * (n + 1) * (3 * n + 2) / 12return int(ans)print(main(100))
运行结果：25164150
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平方和&立方和公式推导
平方和公式推导
∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{i = 1}^n i^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}∑i=1ni2=6n(n+1)(2n+1)
证法一（归纳法）：
n = 1：1=1(1+1)(2×1+1)61 = \frac{1(1+1)(2×1+1)}{6}1=61(1+1)(2×1+1)
n = 2：1+22=2(2+1)(2×2+1)6=51+2^2 = \frac{2(2+1)(2×2+1)}{6}=51+22=62(2+1)(2×2+1)=5
⋯⋯\cdots \cdots⋯⋯
n = k(k∈Z，k≥2k \in Z，k ≥2k∈Z，k≥2)：∑i=1ki2=k(k+1)(2k+1)6\sum_{i = 1}^k i^2= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}∑i=1ki2=6k(k+1)(2k+1)
n = k+1：
(∑i=1k+1i2)=(∑i=1ki2)+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=(k+1)(2k2+k+6k+6)6=(k+1)(2k2+7k+6)6=(k+1)(k+2)(2k+3)6=n(n+1)(2n+1)6\begin{aligned} (\sum_{i = 1}^{k+1} i^2) &= (\sum_{i = 1}^k i^2)+(k+1)^2 \\ &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 \\ &= \frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\\ &= \frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\\ &= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned} (i=1∑k+1i2)=(i=1∑ki2)+(k+1)2=6k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=6(k+1)(2k2+k+6k+6)=6(k+1)(2k2+7k+6)=6(k+1)(k+2)(2k+3)=6n(n+1)(2n+1)
也满足公式。
根据数学归纳法，对于一切自然数，(∑i=1ni2)=n(n+1)(2n+1)6(\sum_{i = 1}^n i^2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(∑i=1ni2)=6n(n+1)(2n+1)成立。
证法二：
利用恒等式(n+1)3=n3+3n2+3n+1(n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1(n+1)3=n3+3n2+3n+1
(n+1)3−n3=3n2+3n+1n3−(n−1)2=3(n−1)2+3(n−1)+1……23−13=3×12+3×1+1\begin{aligned} (n+1)^3 - n^3 &= 3n^2 + 3n + 1 \\ n^3 - (n-1)^2 &= 3(n-1)^2 + 3(n-1) + 1 \\ &…… \\ 2^3 - 1^3 &= 3×1^2 + 3×1 + 1 \end{aligned} (n+1)3−n3n3−(n−1)223−13=3n2+3n+1=3(n−1)2+3(n−1)+1……=3×12+3×1+1
两边求和得：
(n+1)3−1=3(∑i=1ni2)+3(1+2+……+n)+n∑i=1ni2=((n+1)3−1)−3n(n+1)/2−n3=(2n3+6n2+6n)−3n2−3n−2n6=2n3+3n2+n6=n(n+1)(2n+1)6\begin{aligned} (n+1)^3 - 1 &= 3(\sum_{i = 1}^n i^2) + 3(1+2+……+n) + n \\ \sum_{i = 1}^n i^2 &= \frac{((n+1)^3-1) - 3n(n+1)/2 - n}{3} \\ &= \frac{(2n^3+6n^2+6n) - 3n^2 -3n - 2n}{6} \\ &= \frac{2n^3+3n^2+n}{6} \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned} (n+1)3−1i=1∑ni2=3(i=1∑ni2)+3(1+2+……+n)+n=3((n+1)3−1)−3n(n+1)/2−n=6(2n3+6n2+6n)−3n2−3n−2n=62n3+3n2+n=6n(n+1)(2n+1)
证法三：
利用恒等式n(n+1)=n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)3n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)}{3}n(n+1)=3n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)
∑i=1ni2=1×(2−1)+2(3−1)+……+n(n+1−1)=1×2+2×3+……+n(n+1)−(1+2+……+n)=1×2×3−0×1×23+2×3×4−1×2×33+……+n×(n+1)×(n+2)−(n−1)×n×(n+1)3−n(n+1)2=n×(n+1)×(n+2)3−n(n+1)2=n×(n+1)×2(n+2)−3n(n+1)6=n×(n+1)×(2n+4−3)6=n(n+1)(2n+1)6\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n i^2 &= 1×(2-1)+2(3-1)+……+n(n+1-1) \\ &= 1×2+2×3+……+n(n+1) - (1+2+……+n) \\ &= \frac{1×2×3-0×1×2}{3} + \frac{2×3×4-1×2×3}{3} +……\\ &+ \frac{n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2} \\ &= \frac{n×(n+1)×(n+2)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \frac{n×(n+1)×2(n+2) - 3n(n+1)}{6} \\ &= \frac{n×(n+1)×(2n+4-3)}{6} \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned} i=1∑ni2=1×(2−1)+2(3−1)+……+n(n+1−1)=1×2+2×3+……+n(n+1)−(1+2+……+n)=31×2×3−0×1×2+32×3×4−1×2×3+……+3n×(n+1)×(n+2)−(n−1)×n×(n+1)−2n(n+1)=3n×(n+1)×(n+2)−2n(n+1)=6n×(n+1)×2(n+2)−3n(n+1)=6n×(n+1)×(2n+4−3)=6n(n+1)(2n+1)
证法四(排列组合法)：
首先，证明组合Cn+12=C11+C21+……+Cn1C_{n+1}^2 = C_1^1+C_2^1+……+C_n^1Cn+12=C11+C21+……+Cn1
从n+1个里面选2个的情形：
假设先选第1个(其它也可以，仅为看着方便)，剩下从n个里面选1个，即Cn1C_n^1Cn1；假设选第2个，同时不能再选第1个(会重复)，剩下从n-1个里面选1个，即Cn−11C_{n-1}^1Cn−11；……假设选第n个，同时不能再选前面的，剩下从最后1个里面选1个，即C11C_1^1C11
得到证明。
同样的方法，可以证明组合Cn+13=C22+C32+……+Cn2C_{n+1}^3 = C_2^2+C_3^2+……+C_n^2Cn+13=C22+C32+……+Cn2
由于k2=k(k−1)+k=2Ck2+Ck1k^2 = k(k-1) + k = 2C_k^2 + C_k^1k2=k(k−1)+k=2Ck2+Ck1
当k = 1时，理论上不可能从1个中挑出2个，可以认为C12=0C_1^2 = 0C12=0
∑i=1ni2=2(C22+C32+……+Cn2)+(C11+C21+……+Cn1)=2Cn+13+Cn+12=2×(n+1)n(n−1)3×2×1+(n+1)n2×1=(n+1)n(2n−2+3)6=n(n+1)(2n+1)6\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n i^2 &= 2(C_2^2+C_3^2+……+C_n^2) + (C_1^1+C_2^1+……+C_n^1) \\ &= 2C_{n+1}^3 + C_{n+1}^2 \\ &= 2×\frac{(n+1)n(n-1)}{3×2×1} + \frac{(n+1)n}{2×1} \\ &= \frac{(n+1)n(2n-2+3)}{6} \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned} i=1∑ni2=2(C22+C32+……+Cn2)+(C11+C21+……+Cn1)=2Cn+13+Cn+12=2×3×2×1(n+1)n(n−1)+2×1(n+1)n=6(n+1)n(2n−2+3)=6n(n+1)(2n+1)
证法五：
利用恒等式n2=(2n−1+1)×n2=1+3+5+……+(2n−1)n^2 = \frac{(2n - 1 + 1)×n}{2} = 1+3+5+……+(2n -1)n2=2(2n−1+1)×n=1+3+5+……+(2n−1)
12=122=1+332=1+3+5……n2=1+3+5+……+(2n−1)\begin{aligned} &1^2 = 1 \\ &2^2 = 1 + 3 \\ &3^2 = 1 + 3 + 5\\ &…… \\ &n^2 = 1 + 3 + 5 + …… + (2n - 1) \end{aligned} 12=122=1+332=1+3+5……n2=1+3+5+……+(2n−1)
等式两边同时求和得：
∑i=1ni2=n×[1+3+5+……+(2n−1)]−[0×1+1×3+2×5+……+(n−1)(2n−1)]=n×n2−∑i=1n[(i−1)(2i−1)]=n3−∑i=1n[(i−1)(2(i−1)+1)]=n3−2∑i=1n(i−1)2−∑i=1n(i−1)=n3−2×((∑i=1ni2)−n2)−n(n−1)2两边移动后：3×∑i=1ni2=n3+2n2−n(n−1)2∑i=1ni2=2n3+4n2−n2+n6=n(n+1)(2n+1)6\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n i^2 &= n×[1 + 3 + 5 + …… + (2n -1)] - [0×1+1×3+2×5+……+(n - 1)(2n - 1)] \\ &= n×n^2 - \sum_{i = 1}^n [ (i - 1)(2i - 1) ] \\ &= n^3 - \sum_{i = 1}^n [ (i - 1)(2(i - 1) + 1) ] \\ &= n^3 - 2\sum_{i = 1}^n (i - 1)^2 - \sum_{i = 1}^n (i - 1) \\ &= n^3 - 2×((\sum_{i = 1}^n i^2) - n^2) - \frac{n(n-1)}{2} \\ 两边移动后：\\ 3×\sum_{i = 1}^n i^2 &= n^3 +2n^2 - \frac{n(n-1)}{2} \\ \sum_{i = 1}^n i^2 &= \frac{2n^3+4n^2-n^2+n}{6} \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned} i=1∑ni2两边移动后：3×i=1∑ni2i=1∑ni2=n×[1+3+5+……+(2n−1)]−[0×1+1×3+2×5+……+(n−1)(2n−1)]=n×n2−i=1∑n[(i−1)(2i−1)]=n3−i=1∑n[(i−1)(2(i−1)+1)]=n3−2i=1∑n(i−1)2−i=1∑n(i−1)=n3−2×((i=1∑ni2)−n2)−2n(n−1)=n3+2n2−2n(n−1)=62n3+4n2−n2+n=6n(n+1)(2n+1)
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立方和公式推导
∑i=1ni3=(∑i=1n)2\sum_{i = 1}^n i^3= (\sum_{i=1}^n)^2∑i=1ni3=(∑i=1n)2
证法一：(归纳法)
n = 1：13=121^3 = 1^213=12
n = 2：13+23=(1+2)2=91^3+2^3 = (1+2)^2 = 913+23=(1+2)2=9
n = 3：13+23+33=(1+2+3)2=361^3+2^3 + 3^3= (1+2+3)^2 = 3613+23+33=(1+2+3)2=36
……
n = k(k∈Z，k≥2k \in Z，k ≥2k∈Z，k≥2)：∑i=1ki3=(∑i=1ki)2=(k(k+1)2)2\sum_{i = 1}^k i^3= (\sum_{i = 1}^k i)^2 = (\frac{k(k+1)}{2})^2∑i=1ki3=(∑i=1ki)2=(2k(k+1))2
n = k+1：
∑i=1k+1i3=(∑i=1ki3)+(k+1)3=(k(k+1)2)2+(k+1)3=((k+1)2)2×(k2+4(k+1))=((k+1)(k+2)2)2=(∑i=1k+1i)2\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{k+1} i^3 &= (\sum_{i = 1}^k i^3) + (k+1)^3 \\ &= (\frac{k(k+1)}{2})^2 + (k+1)^3 \\ &= (\frac{(k+1)}{2})^2 × (k^2 + 4(k+1)) \\ &= (\frac{(k+1)(k+2)}{2})^2 = (\sum_{i = 1}^{k+1} i)^2 \end{aligned} i=1∑k+1i3=(i=1∑ki3)+(k+1)3=(2k(k+1))2+(k+1)3=(2(k+1))2×(k2+4(k+1))=(2(k+1)(k+2))2=(i=1∑k+1i)2
也满足公式。
根据数学归纳法，对于一切自然数，∑i=1ni3=(∑i=1n)2\sum_{i = 1}^n i^3= (\sum_{i=1}^n)^2∑i=1ni3=(∑i=1n)2成立。
证法二：
利用恒等式(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1(n+1)^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2+4n+1(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1
(n+1)4−n4=4n3+6n2+4n+1n4−(n−1)4=4(n−1)3+6(n−1)2+4(n−1)+1……24−14=4×13+6×12+4×1+1\begin{aligned} (n+1)^4 - n^4 &= 4n^3 + 6n^2 +4n + 1 \\ n^4 - (n-1)^4 &= 4(n-1)^3 + 6(n-1)^2 +4(n-1) + 1 \\ &…… \\ 2^4 - 1^4 &= 4×1^3 + 6×1^2 +4×1 + 1 \\ \end{aligned} (n+1)4−n4n4−(n−1)424−14=4n3+6n2+4n+1=4(n−1)3+6(n−1)2+4(n−1)+1……=4×13+6×12+4×1+1
两边求和得：
(n+1)4−1=4(∑i=1ni3)+6(∑i=1ni2)+4(∑i=1ni)+n∑i=1ni3=((n+1)4−1)−6×n(n+1)(2n+1)6−4×n(n+1)2−n4=n(n+2)(n2+2n+2)−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n4=n(n3+4n2+6n+4−2n2−3n−1−2n−2−1)4=n2(n+1)24=(∑i=1ni)2\begin{aligned} (n+1)^4 - 1 &= 4(\sum_{i = 1}^n i^3) + 6(\sum_{i = 1}^n i^2) + 4(\sum_{i = 1}^n i) + n \\ \sum_{i = 1}^n i^3 &= \frac{((n+1)^4-1) - 6×\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4× \frac{n(n+1)}{2} - n}{4} \\ &= \frac{n(n+2)(n^2+2n+2) - n(n+1)(2n+1) -2n(n+1) - n}{4} \\ &= \frac{n(n^3+4n^2+6n+4-2n^2-3n-1-2n-2-1)}{4} \\ &= \frac{n^2(n+1)^2}{4} = (\sum_{i = 1}^n i)^2 \end{aligned} (n+1)4−1i=1∑ni3=4(i=1∑ni3)+6(i=1∑ni2)+4(i=1∑ni)+n=4((n+1)4−1)−6×6n(n+1)(2n+1)−4×2n(n+1)−n=4n(n+2)(n2+2n+2)−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n=4n(n3+4n2+6n+4−2n2−3n−1−2n−2−1)=4n2(n+1)2=(i=1∑ni)2
证法三：
1=0+12+3+4=1+23=95+6+7+8+9=23+33=35……\begin{aligned} 1 &= 0 + 1 \\ 2 + 3 + 4 &= 1 + 2^3 = 9\\ 5 + 6 + 7 + 8 + 9 &= 2^3 + 3^3 = 35 \\ &…… \\ \end{aligned} 12+3+45+6+7+8+9=0+1=1+23=9=23+33=35……
可以证明：
∑i=m2+1(m+1)2i=((m+1)2−m2)((m+1)2+m2+1)2=2m3+3m2+3m+1=m3+(m3+3m2+3m+1)=m3+(m+1)3\begin{aligned} \sum_{i=m^2+1}^{(m+1)^2} i &= \frac{((m+1)^2 - m^2)((m+1)^2 + m^2 +1)}{2} \\ &=2m^3+3m^2+3m+1 \\ &=m^3 + (m^3 + 3m^2 +3m +1) \\ &=m^3 + (m+1)^3 \end{aligned} i=m2+1∑(m+1)2i=2((m+1)2−m2)((m+1)2+m2+1)=2m3+3m2+3m+1=m3+(m3+3m2+3m+1)=m3+(m+1)3
等式两边分别从1加到m：
1+(2+3+4)+(5+6+7+8+9)+……+∑i=m2+1(m+1)2i=2×(13+23+33+……+m3)+(m+1)3(∑i=1(m+1)2i)−(m+1)3=2∑i=1mi3∑i=1mi3=(m+1)2((m+1)2+1)2−(m+1)32=(m+1)2((m+1)2+1−2(m+1))4=(m(m+1)2)2=(∑i=1mi)2\begin{aligned} 1+(2+3+4)+(5+6+7+8+9)+……+\sum_{i=m^2+1}^{(m+1)^2} i &= 2 × (1^3+2^3+3^3+……+m^3) + (m+1)^3 \\ (\sum_{i=1}^{(m+1)^2} i) - (m+1)^3 &= 2\sum_{i=1}^m i^3 \\ \sum_{i=1}^m i^3 &= \frac{\frac{(m+1)^2((m+1)^2+1) }{2} - (m+1)^3}{2} \\ &=\frac{(m+1)^2((m+1)^2+1 - 2(m+1)) }{4} \\ &=(\frac{m(m+1)}{2})^2 = (\sum_{i=1}^m i)^2 \end{aligned} 1+(2+3+4)+(5+6+7+8+9)+……+i=m2+1∑(m+1)2i(i=1∑(m+1)2i)−(m+1)3i=1∑mi3=2×(13+23+33+……+m3)+(m+1)3=2i=1∑mi3=22(m+1)2((m+1)2+1)−(m+1)3=4(m+1)2((m+1)2+1−2(m+1))=(2m(m+1))2=(i=1∑mi)2
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