《概率论》概率的性质条件概率与事件的独立性
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~《概率论》~概率的性质条件概率与事件的独立性一、条件概率二、概率的乘法公式三、事件的独立性四、全概率公式一、条件概率
定义：设A,B为任意两个事件，且P(B)>0，则称为事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。条件概率满足概率的所有性质，如：
p(φ|B)=0, p(Ω|B)=1P(AB)与P(A|B)的区别与联系：
联系：
两个都是在A,B发生情况下计算概率。
区别：
(1) P(AB) 表示A,B同时发生的概率；P(A|B) 表示在B发生条件下A发生的概率，事件A,B的发生有先后次序。
(2) P(AB) 的样本空间是 ，P(A|B)的样本空间是B。
二、概率的乘法公式
定义：设A,B为任意两个事件，若P(A)>0, P(B)>0，则有 称该式为概率的乘法公式。推广：设A1,A2,…，An为任意n个事件，且 p ( A 1 A 2 ⋅ ⋅ ⋅ A n − 1 ) > 0 p(A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_{n-1})>0 p(A1A2⋅⋅⋅An−1)>0,则有 P ( A 1 A 2 ⋅ ⋅ ⋅ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋅ ⋅ ⋅ A n − 1 ) P(A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdot\cdot\cdot P(A_n|A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_{n-1}) P(A1A2⋅⋅⋅An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋅⋅⋅P(An∣A1A2⋅⋅⋅An−1)三、事件的独立性
定义：设A,B为随机试验E的任意两个事件,若满足： 则称事件A,B相互独立，简称独立。 必然事件及不可能事件与任意事件A相互独立。 前提：A和B独立。若P(B)>0，则P(A|B)=P(A).证明：如果P(A)=0或者P(A)=1，则A与任何事件独立 A,B独立不同于A,B互斥、对立的概念。 A,B独立与A,B互不影响之间的关系。
性质：定理:设A,B为任意两个事件,则 A , B ; A , B ˉ ; A ˉ , B ; A ˉ , B ˉ A,B;A,\bar{B};\bar{A},B;\bar{A},\bar{B} A,B;A,Bˉ;Aˉ,B;Aˉ,Bˉ 四组事件的独立性等价。事件A，B独立等价于：
推广：
另外： n个事件A1,A2,…,An独立，则部分用其对立事件替换，所得新的n个事件仍然相互独立。独立事件概率的计算：
P ( A 1 A 2 … A n ) = ∏ 1 n P ( A i ) P(A_1A_2\dots A_n) =\displaystyle\prod_1^nP(A_i) P(A1A2…An)=1∏nP(Ai)
P ( A 1 + A 2 + ⋯ + A n ) = 1 − ∏ 1 n P ( A i ˉ ) P(A_1+A_2+\dots+A_n) = 1-\displaystyle\prod_1^nP(\bar{A_i}) P(A1+A2+⋯+An)=1−1∏nP(Aiˉ)
四、全概率公式
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