数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种:
一是判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者借助数列对应函数的单调性比较大小;
二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题;
三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题,此类问题常通过构造函数证明,或者直接利用放缩法证明.
数列与不等式的综合问题解题技巧：
数列可看作自变量为正整数的一类函数,数列的通项公式相当于函数的解析式,所以我们可以用函数的观点来研究数列.例如,要研究数列的单调性、周期性,可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现.但要注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.
经典例题：
几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是2^0,2^1,2^2,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 ()
A.440 B.330 C.220 D.110
解析：设第一项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为n(n+1)/2.由题意可知,N>100,令n(n+1)/2>100,∴n≥14,n∈N*,即N出现在第13组之后.易得第n 组的所有项的和为(1-2^n)/(1-2)=2^n-1,前n组的所有项的和为{[2(1-2^n)]/(1-2)}-n=2^(n+1)-n-2.设满足条件的N在第k+1(k∈N*,k≥13)组,且第N项为第k+1组的第t(t∈N*)个数,第k+1组的前t项的和 2^t-1应与-k-2互为相反数,即2^t-1=k+2,∴2^t=k+3,∴t=log2(k+3),∴当t=4,k=13时,N=13×(13+1)/2+4=95<100,不满足题意,当t=5,k=29时,N=29×(29+1)/2+5=440,当t>5时,N>440,故选A.
答案：A
经典例题：
数列与不等式的综合问题的主要类型及求解策略：
(1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者借助数列对应函数的单调性比较大小,还可以作差或作商比较大小;
(2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题;
(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题,此类问题常通过构造函数证明,或者直接利用放缩法证明.
