二次函数的动点问题是中考数学的常考题型，多解问题是其中比较有难度的题型，本文就例题详细解析二次函数动点和多解题型的解题思路，希望能给初三学生的复习备考提供帮助。
例题
如图，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，√3)。当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC。
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动。当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
1、求实数a，b，c的值
根据题目中的条件：当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，则二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x=(-4+2)/2=-1；
根据韦达定理、题目中的条件和结论：二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x=-1，x1+x2=-b/a，则对称轴=（x1+x2）/2=-b/2a=-1，即b=2a；
根据题目中的条件：抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与y轴相交于点C(0，√3)，则c=√3；
根据题目中的条件：抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)，则A点坐标代入抛物线解析式能使等式成立，即9a-3b+√3=0；
根据结论：b=2a，9a-3b+√3=0，可求得a=-√3/3，b=-2√3/3；
所以，a=-√3/3，b=-2√3/3，c=√3，二次函数的解析式为：y=-√3/3x-2√3/3x+√3。
2、求t的值及点P的坐标
设B点坐标为（s,0）
根据题目中的条件和结论：抛物线y=-√3/3x-2√3/3x+√3与x轴交于A(－3，0)、B（s,0），对称轴为-1，则(-3+s)/2=-1，可求得s=1，即B点坐标为（1,0）；
根据结论：B（1,0），C(0，√3)，则OB=1，OC=√3；
根据特殊直角三角形的三角函数值和结论：tan∠OBC=OC/OB，OB=1，OC=√3，则tan∠OBC=√3，即∠OBC=60°；
根据题目中的条件：点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，运动时间为t秒，则BM=t，BN=t；
根据题目中的条件：△BMN沿MN翻折得到△PMN，则PM=BM，PN=BN；
根据结论：BM=t，BN=t，PM=BM，PN=BN，则PM=BM=PN=BN；
根据菱形的判定和结论：四条边相等的四边形为菱形，PM=BM=PN=BN，则四边形BMPN为菱形；
根据菱形的性质和结论：菱形的两组对边分别平行，四边形BMPN为菱形，则PM∥BC；
若P在AC边上
根据平行线分线段成比例定理和结论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，PM∥BC，则PM/BC=AM/AB；
根据勾股定理和结论：OB=1，OC=√3，BC=OB+OC，则BC=2；
根据题目中的条件和结论：A(－3，0)，B（1,0），则AB=4；
根据结论：AB=4，BM=t，则AM=AB-BM=4-t；
根据结论：PM=BM=t，BC=2，AB=4，AM=4-t，PM/BC=AM/AB，可求得t=4/3；
根据结论：PM=BM=t，t=4/3，则PM=BM=4/3；
过P点作PD⊥AB，交x轴于点D
根据平行线的性质和结论：两直线平行，同位角相等，PM∥BC，则∠PMD=∠OBC；
根据结论：∠OBC=60°，∠PMD=∠OBC，则∠PMD=60°；
根据特殊直角三角形的三角函数值和结论：PD⊥AB，∠PMD=60°，PM=4/3，MD/PM=1/2，PD/PM=√3/2，则MD=2/3，PD=2√3/3；
根据结论：MD=2/3，BM=4/3，则BD=MD+BM=2；
根据结论：BD=2，B（1,0），则D点坐标为（-1,0）；
根据结论：D点坐标为（-1,0），则OD=1；
根据结论：OD=1，PD=2√3/3，则P点坐标为（-1，2√3/3）；
所以，t=4/3，P点坐标为（-1，2√3/3）。
3、求点Q的坐标
设对称轴与x轴交于D点
（1）△ABC∽△QBN，即BQ与BA、BN与BC、NQ与CA为对应边，Q点在AB上
根据相似三角形的性质和题目中的条件：相似三角形的对应边成比例，△ABC∽△QBN，则BQ/AB=BN/BC；
根据结论：AB=4，BN=4/3，BC=2，BQ/AB=BN/BC，则BQ=8/3；
根据题目中的条件和结论：D（-1,0），B（1,0），则BD=2；
根据结论：BD=2，BQ=8/3，则BD≠BQ；这个Q点不符合条件。
（2）△ABC∽△BQN，即BQ与AB、BN与AC、NQ与BC为对应边
根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△ABC∽△BQN，则BQ/AB=BN/AC；
根据结论：A(－3，0)，则OA=3；
根据勾股定理和结论：OA=3，OC=√3，AC=OA+OC，则AC=2√3；
根据结论：AB=4，BN=4/3，AC=2√3，BQ/AB=BN/AC，则BQ=8√3/9；
根据结论：BD=2，BQ=8√3/9，则BD>BQ；这个Q点不符合条件。
（3）△ABC∽△QNB，即BQ与AC、BN与BC、NQ与AB为对应边
根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△ABC∽△QNB，则BQ/AC=BN/BC；
根据结论：AC=2√3，BC=2，BN=4/3，BQ/AC=BN/BC，则BQ=4√3/3；
根据结论：BQ=4√3/3，BD=2，则BQ>BD，这个Q点符合条件；
根据勾股定理和结论：BQ=4√3/3，BD=2，QD=BQ-BD，则QD=2√3/3；
所以，Q点坐标为（-1，-2√3/3）。
（4）△ABC∽△NQB，即BQ与BC、BN与AC、NQ与AB为对应边
根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△ABC∽△NQB，则BQ/BC=BN/AC；
根据结论：AC=2√3，BC=2，BN=4/3，BQ/BC=BN/AC，则BQ=4√3/9；
根据结论：BD=2，BQ=4√3/9，则BD>BQ；这个Q点不符合条件。
（5）△ABC∽△BNQ，即BQ与AC、QN与BC、BN与AB为对应边
根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△ABC∽△BNQ，则BQ/BC=BN/AB；
根据结论：AB=4，BC=2，BN=4/3，BQ/BC=BN/AB，则BQ=2/3；
根据结论：BD=2，BQ=2/3，则BD>BQ；这个Q点不符合条件。
（6）△ABC∽△NBQ，即BQ与BC、QN与AC、BN与AB为对应边
根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△ABC∽△NBQ，则BQ/AC=BN/AB；
根据结论：AC=2√3，AB=4，BN=4/3，BQ/AC=BN/AB，则BQ=2√3/3；
根据结论：BD=2，BQ=2√3/3，则BD>BQ；这个Q点不符合条件。
所以，符合条件的Q点坐标为（-1，-2√3/3）。
结语
解决二次函数的动点问题必须充分利用几何图形的特殊性质，得到边与角之间的关系，再对应到二次函数上特殊点的坐标进行求解，遇到多解问题时必须考虑各种可能性，认真审题、仔细分析，灵活运用几何图形的性质，才能轻松应对这类题型，为数学中考取得高分加油助力！
