众所周知，二次函数是中考数学必考的题目。而二次函数中，因动点产生的一系列问题，比如因动点产生的等腰三角形问题，因动点产生的平行四边形问题等，又经常让考生们倍感头痛。
这一系列的题目吧，说难又不是很难，可就是有许多同学无从下笔！绞尽脑汁之后，选择了放弃。
到底该不该放弃呢？下面，精选几道二次函数与菱形的存在性问题，详细分析一下。
经典例题1
如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（-4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．
（1）求直线AB和抛物线的解析式．
（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．
（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
不妨，我们来一起看看网络上提供的分析与答案！
【分析】（1）设直线的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，4）代入得到关于k、b的方程组，然后解得到k、b的值即可；设抛物线的解析式为y=ax^2+4，然后将点A的坐标代入求得a的值即可；
（2）过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．设点P（a，﹣1/4a^2+4），Q（a，a+4）．则PQ=﹣1/4a^2-a，然后依据三角形的面积公式列出△ABP的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；
（3）先根据题意画出图形，需要注意本题共有4种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及特殊锐角三角函数值求解即可．
【参考答案】
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的最值，三角形的面积公式、菱形的性质、等腰直角三角形的性质，列出△ABP的面积与a的函数关系式以及根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．
【吐槽】细看整个分析以及答案详解过程，均没有出现解决这种类型题目的基本逻辑是什么（即怎么画出图形，怎么分类讨论）！如果你在学校也是这么按部就班地学习，那么恭喜你！再次碰到这种类型的题目，你也许还是不会解！或者只是凭着记忆点，依葫芦画瓢给写了出来。
因为解决这种题目的底层逻辑你不知道啊！这也就是为什么，大部分老师吐槽：明明已经讲过这种题型，但是还是有一大部分的学生不会。最后只能劝说：这一类型的题目可以直接放弃了！
该放弃吗？我觉得还可以再拯救一下！
其实，我们不妨这样分析：
题中O、B、M、N四个点，我们第一步先明确，定点有两个，即O、B。然后根据菱形的相关概念，我们先确定线段OB到底是对角线还是边。（即怎么分类讨论。）
①当OB为对角线时，非常容易，做OB的垂直平分线，与AB的交点即为M（AB中点），点M关于OB的对称点即为N，这样第一个图是不是已经画出，点的坐标求法还不是秒杀的题。
②当OB为菱形的边时，这个时候就要注意了，怎么画图是关键。我们不妨回忆一下菱形的基本性质：四条边相等。从这一个简单的逻辑出发，借助圆规，分别以O、B圆心，线段OB的长度为半径画圆，圆与直线AB的交点即为M。再以M为圆心，线段OB长度为半径画圆，与先画的圆的交点即为N。
图不就轻松解决了吗！而且做到了分类讨论的不重不漏！
最后再利用平移、勾股定理，即可轻松求出N的坐标。何乐而不为呢！
怎么样？学会了没？第一步，根据菱形的基本概念确定怎么分类讨论。第二步，根据菱形的基本性质画出图形。第三步，根据菱形对边的平行这一性质，求出所需的点的坐标！
如果学会了，再练几道题巩固一下吧！
巩固练习1
巩固练习2
巩固练习3
练完这几道题，你还觉得二次函数与菱形存在性问题值得放弃吗？
记住，你现在还有两个月的时间复习，乾坤未定，你我皆为黑马！放弃，不存在的！
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