一、细心填一填（本大题共12小题，每空2分，共28分，把答案填写在题中横线上，只要你理解概念仔细运算，相信你一定会填对的．）
1．（2分）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有3对全等三角形．
分析： 由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．
解答： 解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为：3．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（4分）如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′=40°，则∠B′=30°，∠AOB=110°．
考点： 旋转的性质．
分析： 根据旋转的性质得到，利用∠AOB=∠A′OB′以及三角形内角和定理计算即可．
解答： 解：∵△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，∠A′=40°，
∴∠B=∠B′=30°，∠A′=∠A=40°，
则∠B′=30°，∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=110°．
故答案为：30，110．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
3．（2分）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=11．
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
解答： 解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y=5
∴x+y=11．
故填11．
点评： 本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．
4．（2分）从地面小水洼观察到一辆小汽车的车牌号为 ，它的实际号是GFT2567．
考点： 镜面对称．
分析： 关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．
解答： 解：实际车牌号是：GFT2567．
故答案为：GFT2567．
点评： 本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．
5．（2分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 要使△ABE≌△ACD，已知AE=AD，∠A=∠A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
解答： 解：∵∠A=∠A，AE=AD，
添加：∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA），
∴△ABE≌△ACD．
故填：∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
6．（2分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是SSS证明△COM≌△CON．
考点： 作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
分析： 由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
解答： 解：由图可知，CM=CN，又OM=ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON，
∴∠AOC=∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故答案为：SSS证明△COM≌△CON．
点评： 本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
7．（2分）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=135°．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
解答： 解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1=∠DBE，
又∵∠DBE+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．
故填135．
点评： 此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．
8．（2分）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=90度．
考点： 全等三角形的应用．
分析： 由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
解答： 解：∵△ABC与△DEF均是直角三角形，BC=EF，AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC=∠DEF
∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°．
故填90
点评： 此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的综合运用能力．
9．（2分）如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=24，则△PMN的周长是24．
考点： 轴对称的性质．
分析： 先根据轴对称的性质得出PM=P1M，PN=P2N，由此可得出结论．
解答： 解：∵P点关于OA、OB的对称点为P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=P1P2=24．
故答案为：24．
点评： 本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是15．
考点： 角平分线的性质．
分析： 过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
解答： 解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是 ×DE×BC= ×10×3=15，
故答案为：15．
点评： 本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
11．（4分）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，则∠EAB=60°，∠DEF=35°．
考点： 全等三角形的性质．
分析： 由△ACB的内角和定理求得∠CAB=25°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD=∠CAB=25°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．
解答： 解：如图，∵∠ACB=105°，∠B=50°，
∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣50°﹣105°=25°．
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD=∠CAB=25°．
又∵∠EAB=∠EAC+∠CAD+∠CAB，∠CAD=10°，
∴∠EAB=25°+10°+25°=60°，即∠EAB=60°．
∴∠AEB=180°﹣∠EAB﹣∠B=180°﹣60°﹣50°=70°，
∴∠EDF=∠AED﹣∠AEB=105°﹣70°=35°．
故答案是：60；35．
点评： 本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
12．（2分）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是50．
考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG，故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
解答： 解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠FED=∠EFA=∠BGA=90°，
∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，
∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG
∴AF=BG，AG=EF．
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S= （6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故答案为50．
点评： 本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键．
二、精心选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把选项的字母代号填在题后的括号内，相信你一定能选对！）
13．（3分）如图，下列图案是轴对称图形的有
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
解答： 解：第1个图形是轴对称图形，
第2个图形不是轴对称图形，
第3个图形是轴对称图形，
第4个图形是轴对称图形，
综上所述，轴对称图形有3个．
故选C．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
14．（3分）在下列条件中，能判定△ABC和△A′B′C′全等的是
A． AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′
B． ∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′
C． ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
D． AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC的周长=△A′B′C′的周长
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′，角不是边的夹角，不能判定两三角形全等，故本选项错误；
B、∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′，边不是对应边，不能判定两三角形全等，故本选项错误；
C、∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，没有对应边相等，不能判定两三角形全等，故本选项错误；
D、AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC的周长=△A′B′C′的周长，根据周长可以求出AC=A′C′，符合“边边边”判定方法，能判定两三角形全等，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．（3分）在下列说法中，正确的有
①三角分别相等的两个三角形全等；
②三边分别相等的两个三角形全等；
③两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等；
④两边及其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
解答： 解：①三角分别相等的两个三角形全等，说法错误；
②三边分别相等的两个三角形全等，说法正确；
③两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等，说法正确；
④两边及其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等，说法错误．
故选：B．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．（3分）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是
A． B． C． D．
考点： 剪纸问题．
分析： 严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．
解答： 解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．
故选C．
点评： 主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养．
17．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论，其中正确的个数是
①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
专题： 常规题型．
分析： 由角平分线的性质可得DE=DF，则∠DEF=∠DFE；易证△AED≌△AFD，则AE=AF；由DE=DF，AE=AF，根据线段垂直平分线的逆定理可得AD垂直平分EF．据此作答．
解答： 解：①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，
∴DE=DF（角平分线的性质），
∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）；
②∵DE=DF，AE=AE，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），AE=AF；
③∵DE=DF，AE=AF，
∴AD垂直平分EF（线段垂直平分线的逆定理）；
④没有条件能够证明EF垂直平分AD．
故选C．
点评： 此题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的逆定理，属于基本题目．
18．（3分）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
考点： 轴对称的性质．
专题： 网格型．
分析： 根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．
解答： 解：如图：
共3个，
故选B．
点评： 本题考查的是轴对称图形，根据题意作出图形是解答此题的关键．
三、认真答一答．（本大题共7小题，共54分，只要你仔细读题，积极思考，一定会解答正确的！）
19．（4分）已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC=a，AC=b、AB=c．（不写作法，保留作图痕迹）
考点： 作图—复杂作图．
分析： 作线段BC=a，以点B为圆心，c为半径画弧，再以点C为圆心，b为半径画弧两弧的交点就是点A的位置，连接AB，AC即可．
解答： 解：
点评： 本题主要考查了利用SSS画三角形的能力．
20．（6分）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE= AB，AF= AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
考点： 全等三角形的应用．
专题： 探究型．
分析： 证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题OA=OA公共边，可考虑SSS证明三角形全等，从而推出角相等．
解答： 解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，
理由如下：
∵AB=AC，AE= AB，AF= AC，
∴AE=AF，
在△AOE与△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（SSS），
∴∠BAD=∠CAD．
点评： 本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，常常通过两个全等三角形，得出对应角相等．
21．（8分）图为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离（不能直接测量），请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案求出AB的长（要求画出草图，写出测量方案和理由）．
考点： 全等三角形的应用．
专题： 方案型．
分析： 本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得荷花池的长度（如下图）．
解答： 解：分别以点A、点B为端点，作AQ、BP，
使其相交于点C，
使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ，
测得PQ即可得出AB的长度．
理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，
又∠PCQ=∠BCA，
∴△PCQ≌△BCA
∴AB=PQ．
点评： 本题考查了全等三角形的应用；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种作法较常见，要熟练掌握．
22．（8分）一次数学课上，老师在黑板上画了如图图形，并写下了四个等式：
①BD=CA，②AB=DC，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AE=DE．请你试着完成老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：①②（请填写序号），求证：AE=DE．
证明：
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 已知条件为①②，加上公共边相等，利用SSS得到三角形ABD与三角形DCA全等，利用全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再由对顶角相等，AB=DC，利用AAS得到三角形ABE与三角形DCE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
解答： 解：已知：①BD=CA，②AB=DC，
求证：AE=DE，
证明：在△ABD和△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴AE=DE．
故答案为：①②．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．
求证：△ABC≌△MED．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED．
解答： 证明：∵MD⊥AB，
∴∠MDE=∠C=90°，
∵ME∥BC，
∴∠B=∠MED，
在△ABC与△MED中， ，
∴△ABC≌△MED（AAS）．
点评： 此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般．
24．（10分）画图并讨论：
已知△ABC，如图所示，要求画一个三角形，使它与△ABC有一个公共的顶点C，并且与△ABC全等．
甲同学的画法是：（1）延长BC和AC；（2）在BC的延长线上取点D，使CD=BC；（3）在AC的延长线上取点E，使CE=AC；（4）连接DE，得△DEC．乙同学的画法是：（1）延长AC和BC；（2）在BC的延长线上取点M，使CM=AC；（3）在AC的延长线上取点N，使CN=BC；（4）连接MN，得△MNC．
究竟哪种画法对，有如下几种可能：
①甲画得对，乙画得不对；②甲画的不对，乙画得对；③甲、乙都画得对；④甲、乙都画得不对；正确的结论是③．
这道题还可这样完成：（1）用量角器量出∠ACB的度数；（2）在∠ACB的外部画射线CP，使∠ACP=∠ACB；（3）在射线CP上取点D，使CD=CB；（4）连接AD，△ADC就是所要画的三角形、这样画的结果可记作△ABC≌△ADC．
满足题目要求的三角形可以画出多少个呢？答案是无数个．
请你再设计一种画法并画出图形．
考点： 作图—应用与设计作图．
专题： 阅读型；操作型．
分析： ①根据全等三角形的判定定理，找到边角的相等关系，求解．②一个三角形绕一个端点可以有很多三角形产生，所以满足要求的三角形有无数个．
解答： 解：对甲来说，由图形可知，CD=BC、CE=AC，又有∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC．故甲画的对；
对乙来说，由图形可知，AC=CM、BC=CN，∠ACB=∠MCN
∴△ACB≌△MCN，故乙的作法正确．
∴甲、乙都画得对．故选③．
如图：AC=AC CD=BC∠ACB=∠ACD
∴△ABC≌△ADC
设计如下：（1）用量角器量出∠ACB的度数；
（2）在∠ACB的外部画射线CE，使∠BCE=∠ACB；
（3）在射线CE上取点D，使CD=CA；
（4）连接BD，△BCD就是所要画的三角形．
点评： 三角形全等的判定定理有：边角边，边边边，角角边，角边角．
25．（10分）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；③否．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）在△ABM和△BCN中，
根据 判定△ABM≌△BCN，
所以∠BAM=∠CBN，
则∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60度．
（2）②同样还是根据条件判定△ACM≌△BAN，
得到∠AMC=∠BNA，所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，
即∠BQM=60°；
③同上，证明Rt△ABM≌Rt△BCN，
得到∠AMB=∠BNC，
所以，∠QBM+∠QMB=90°，∠BQM=90°，
即∠BQM≠60°．
解答： （1）证明：在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．
（2）①是；②是；③否．
②的证明：如图，
在△ACM和△BAN中，
，
∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，
∴∠BQM=60°．
③的证明：如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），
∴∠AMB=∠BNC．
又∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．
点评： 主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
