已知f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a≠-2 a∈R） （Ⅰ）若f（x）能表示成一个奇函数g

问题补充：

已知f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a≠-2，a∈R），

（Ⅰ）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；

（Ⅱ）若f（x）和g（x）在区间（-∞，（a+1）2]上都是减函数，求a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较的大小．

答案：

解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）

∴f（-x）=-g（x）+h（x）

∴g（x）+h（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|，-g（x）+h（x）=x2-（a+1）x+lg|a+2|，

∴g（x）=（a+1）x，h（x）=x2+lg|a+2|；

（Ⅱ）由函数g（x）=（a+1）x在（-∞，（a+1）2]上是减函数，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2

函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|=（x+）2-+lg|a+2|在区间（-∞，（a+1）2]上是减函数，

∴（a+1）2≤-，解得-≤a≤-1

∵f（x）和g（x）在区间（-∞，（a+1）2]上都是减函数，

∴-≤a＜-1；

（Ⅲ）f（1）=1+（a+1）+lg|a+2|=a+2+lg|a+2|（-≤a＜-1）

F（a）=a+2+lg|a+2|在[-，-1）上是增函数

∴f（1）≥=-+2+lg|-+2|=+lg＞．

解析分析：（I）根据题意可知f（x）=g（x）+h（x），再根据奇偶性求出f（-x），从而建立方程组，解之即可求出g（x）和h（x）的解析式；（Ⅱ）先对函数f（x）进行配方求出对称轴，利用f（x）在区间（-∞，（a+1）2]上是减函数，建立关系式可求出a的范围，然后根据函数g（x）=（a+1）x是区间（-∞，（a+1）2]上减函数，建立关系求出a的范围，从而可得结论；（Ⅲ）表示出f（1），确定相应函数的单调性，可得结论．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数的单调性，考查大小比较，正确运用函数的单调性是关键．

已知f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a≠-2 a∈R） （Ⅰ）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和 求g（x）和h（x）的解析式