问题补充:
如图,已知平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过P点作MN∥AD,EF∥CD,分别交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F,设a=PM?PE,b=PN?PF.
(1)请判断a与b的大小关系,并说明理由;
(2)当时,求的值.
答案:
解:(1)a=b
理由:∵BC∥AD
∴△PDE∽△PBF
∴
∵AB∥CD
∴△PDN∽△PBM
∴
∴
∴PM?PE=PN?PF
∴a=b;
(2)∵=2
∴=,
∵MN∥AD,EF∥CD,
∴四边形BFPM是平行四边形
∴△PBF≌△BPM
∴==,
∴S△BPM=4S△PDE
∵=2
∴=
∴=,
∴S△BPM=S△BDA,
∵S△PDE=S△BPM=S△BDA,
∴S四边形PEAM=S△BDA
∴=.
解析分析:(1)根据AD∥BC,可求出△PDE∽△PBF,因此PD:PB=PE:PF.同理可在相似三角形△PDN和△PBM中,求得PD:PB=PN:PM,两个比例关系式的等值替换,即可求出PM?PE=PN?FP,即a=b;
(2)根据PM∥AD,可求出△BPM∽△ABD,可得出△PMB和△ABD的面积比;同理可求出△PED和△ABD的面积比.由于四边形AMPE的面积为△ABD、△PMB、△PED的面积差,由此可求出平行四边形PEAM与△ABD的面积比.
点评:本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识.综合性强,难度较大.
如图 已知平行四边形ABCD中 P是对角线BD上的一点 过P点作MN∥AD EF∥CD 分别交AB CD AD BC于M N E F 设a=PM?PE b=PN?PF