已知函数f（x）=+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0 +

问题补充：

已知函数f（x）=+lnx（a≠0）

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；

（3）求证：ln2＜＜ln3（n∈N*）

答案：

解：（1）因为函数 ，其定义域为（0，+∞）

所以f′（x）=[]′+（lnx）′=

即?

当a＜0时，增区间为﹙0，+∞﹚；

当a＞0时，减区间为﹙0，），增区间为（，+∞）

（2）1°当a＜0时，函数增区间为﹙0，+∞﹚，此时不满足f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；

2°当a＞0时，函数减区间为﹙0，），增区间为（，+∞），

要使f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

只需f≥0即可，

即1--lna≥0，

令g（a）=1--lna? （a＞0）

则g′（a）=-==0，

解得a=1，因此g（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

所以当a=1时，g（a）取最大值0，

故f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

当且仅当a=1时成立，即a=1；

（3）由（2）知，令时，＞0（k∈N*）

∴（k∈N*）

∴

令，则＞0（k∈N*）

∴（k∈N*）

∴

综上成立．

解析分析：（1）直接利用导数的运算法则即可求出f′（x），对a进行讨论，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）函数的单调性，对a进行讨论，转化为求函数的最小值，对函数的最小值进行求导，即可求得a的取值范围；（3）根据（2）的结果，a=′1时，f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分别令，即可证得结果．

点评：本题考查函数性质和导数的综合应用，本题解题的关键是利用导数方法求函数的最值，利用函数思想时也要用导数来求最值，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属难题．

已知函数f（x）=+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0 +∞）上恒成立 求a的取值范围；（3）求证：ln2＜＜ln3（n∈N*