已知函数f（x）=x2+2x+a?lnx．（1）若函数f（x）在区间（0 1]上恒为单调函数 求实数

问题补充：

已知函数f（x）=x2+2x+a?lnx．

（1）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；

（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

答案：

解：（1）由f（x）=x2+2x+a?lnx，得，

要使f（x）在（0，1]上恒为单调函数，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．

∴只需a≥-（2x2+2x），或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立．

记g（x）=-（2x2+2x），

∵0＜x≤1，

∴-4≤g（x）＜0，

∴a≤-4，或a≥0．（5分）

（2）∵f（x）=x2+2x+a?lnx，

∴由f（2t-1）≥2f（t）-3，得

（2t-1）2+2（2t-1）+a?ln（2t-1）≥2（t2+2t+alnt）-3，

化简得2（t-1）2≥，

∵t＞1时有t2＞2t-1＞0，即，

则，∴，①-------------（7分）

构造函数h（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，则，

∴h（x）在x=0处取得极大值，也是最大值．

∴h（x）≤h（0）在x＞-1范围内恒成立，而h（0）=0，

从而ln（1+x）≤x在x＞-1范围内恒成立．

∴在t＞1时，ln=ln[1+≤＜（t-1）2，

而t=1时，=（t-1）2=0，

∴当t≥1时，≤（t-1）2恒成立，

即t≥1时，总有，②

由式①和式②可知，实数a的取值范围是a≤2．（12分）

解析分析：（1）由f（x）=x2+2x+a?lnx，得，要使f（x）在（0，1]上恒为单调函数，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．由此能求出实数a的取值范围．（2）由f（x）=x2+2x+a?lnx，知f（2t-1）≥2f（t）-3，故2（t-1）2≥，t＞1时，，所以，构造函数h（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，则，由此能够求出实数a的取值范围．

点评：本题考查实数a的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意导数在求解函数最值时的灵活运用．

已知函数f（x）=x2+2x+a?lnx．（1）若函数f（x）在区间（0 1]上恒为单调函数 求实数a的取值范围；（2）当t≥1时 不等式f（2t-1）≥2f（t）-