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前言一、9. 2二、9. 3三、9. 5四、9. 8五、9. 10六、9. 12▌总结前言
\qquad和参数估计比较，假设检验是另一类重要的统计推断问题。为了解总体的某些性质，首先做出某种假设，然后根据样本去检验这种假设是否合理，经检验后若假设合理就接受这个假设，否则就拒绝这个假设。
仅供参考
一、9. 2
\qquad某砖厂生产的砖的抗断强度X(10’Pa)服从正态分布，设方差 σ2=1.21\sigma^2=1.21σ2=1.21，从产品中随机地抽取6块，测得抗断强度值为 32.66,29.86,31.74,30.15,32.88,31.0532.66, 29. 86, 31. 74,30. 15,32. 88,31. 0532.66,29.86,31.74,30.15,32.88,31.05试检验这批砖的平均抗断强度是否为 32.50×105Pa?(α=0.05)32.50\times 10^5Pa? (\alpha= 0. 05)32.50×105Pa?(α=0.05)
假设检验类问题做法步骤：
1）根据问题给出原假设以及备择假设（对立假设）
2）选择合适的检验统计量
3）确定拒绝域
4）求值
5）判断小概率事件是否发生。根据小概率原理，若小概率事件在一次试验中发生，就认为原假设H0H_0H0不合理，就拒绝H0H_0H0 ( 接受H1H_1H1)。若小概率事件未发生，就认为原假设H0H_0H0合理，接受H0H_0H0
方差 σ2\sigma^2σ2 已知，检验 μ\muμ
统计量为：U=Xˉ−μoσ/n∼N(0,1)U = \cfrac {\bar X - \mu_o}{\sigma/\sqrt n} \sim N (0,1)U=σ/nXˉ−μo∼N(0,1)拒绝域：(−∞,−zα2),(zα2,+∞)(-\infty ,-z_{\frac\alpha2}),(z_{\frac\alpha2},+\infty )(−∞,−z2α),(z2α,+∞)
解：
原假设H0:μ=32.50备择假设H1：μ≠32.50选统计量：U=Xˉ−μoσ/n∼N(0,1)α=0.05即：P{∣U∣>z0.025=0.05}查表:z0.025=1.96原假设H_0:\qquad\mu=32.50\qquad\qquad备择假设H_1：\mu\ne32.50\\ 选统计量：\qquad U = \frac {\bar X - \mu_o}{\sigma/\sqrt n} \sim N (0,1)\\ \alpha = 0.05 \qquad 即：P\begin{Bmatrix} |U|>z_{0.025} = 0.05\end{Bmatrix} \qquad查表:z_{0.025} = 1.96原假设H0:μ=32.50备择假设H1：μ=32.50选统计量：U=σ/nXˉ−μo∼N(0,1)α=0.05即：P{∣U∣>z0.025=0.05}查表:z0.025=1.96
xˉ=32.66+29.86+31.74+30.15+32.88+31.056=31.39∣u∣=∣31.39−32.501.16∣=2.472∵2.472>1.96∴拒绝H0，抗压强度不为32.50×105Pa\bar x = \frac{32.66+29. 86+ 31. 74+30. 15+32. 88+31. 05}{6} = 31.39\\ |u| = \left| \frac{31.39-32.50}{\sqrt {1.1} \sqrt{6}} \right| = 2.472\\ \because2.472>1.96\qquad\therefore拒绝H_0，抗压强度不为32.50\times10^5Paxˉ=632.66+29.86+31.74+30.15+32.88+31.05=31.39∣u∣=∣∣∣∣1.1631.39−32.50∣∣∣∣=2.472∵2.472>1.96∴拒绝H0，抗压强度不为32.50×105Pa
二、9. 3
\qquad 某地区从1975年新生的女孩中随机地抽取20个，测量体重,算得这20个女孩的平均体重为3160g.样本标准差为300g，而根据1975年以前的统计资料知，新生女孩的平均体重为3140g，问1975年的新生女孩与以前的新生女孩比较，平均体重有无显著差异? 假定新生女孩体重服从正态分布，给出 α=0.05\alpha= 0. 05α=0.05.
方差 σ2\sigma^2σ2 未知，检验 μ\muμ
统计量为：T=Xˉ−μoS/n∼t(n−1)T = \frac {\bar X - \mu_o}{S/\sqrt n} \sim t (n-1)T=S/nXˉ−μo∼t(n−1)拒绝域：(−∞,−tα2),(tα2,+∞)(-\infty ,-t_{\frac\alpha2}),(t_{\frac\alpha2},+\infty )(−∞,−t2α),(t2α,+∞)
解：
由题知：xˉ=3160s=300n=20α=0.05原假设H0:μ=μo=3140备择假设H1：μ≠μo选统计量：T=Xˉ−μoS/n∼t(n−1)α=0.05即：P{∣T∣>t0.025(19)}=0.05查表:t0.025(19)=2.093t=3160−3140300/20=0.298∵0.298<2.093∴接受H0，女孩体重无显著差异由题知： \bar x=3160\qquad s= 300 \qquad n=20 \qquad \alpha=0.05\\原假设H_0:\qquad\mu=\mu_o=3140\qquad\qquad备择假设H_1：\mu\ne\mu_o\\ 选统计量：\qquad T = \frac {\bar X - \mu_o}{S/\sqrt n} \sim t (n-1)\\ \alpha = 0.05 \qquad 即：P\begin{Bmatrix} |T|>t_{0.025}(19) \end{Bmatrix} = 0.05\qquad查表:t_{0.025}(19)= 2.093\\ t = \frac{3160-3140}{300/\sqrt{20}}= 0.298\\ \because0.298<2.093\qquad\therefore接受H_0，女孩体重无显著差异由题知：xˉ=3160s=300n=20α=0.05原假设H0:μ=μo=3140备择假设H1：μ=μo选统计量：T=S/nXˉ−μo∼t(n−1)α=0.05即：P{∣T∣>t0.025(19)}=0.05查表:t0.025(19)=2.093t=300/203160−3140=0.298∵0.298<2.093∴接受H0，女孩体重无显著差异
三、9. 5
\qquad现要求一种元件的使用寿命不得低于1000h,今从一批这种元件中随机地抽25件，测定寿命，算得寿命的平均值为950h,已知该种元件的寿命X∼(μ,σ2)X\sim(\mu,\sigma^2)X∼(μ,σ2)，且知 σ=100σ=100σ=100，试在检验水平 α=0.05α= 0.05α=0.05 的条件下，确定这批元件是否合格?
单侧检验：
唯一注意的是拒绝域变成单侧
解：由题知：xˉ=950σ=100n=25α=0.05原假设H0:μ=μo=1000备择假设H1：μ<μo选统计量：U=Xˉ−μoσ/n∼N(0,1)α=0.05即：P{∣U∣<z0.05}=0.05查表:z0.05=1.645u=950−1000100/25=−2.5∵∣μ∣>z0.05∴拒绝H0，接受H1，产品不合格由题知： \bar x=950\qquad \sigma= 100 \qquad n=25 \qquad \alpha=0.05\\原假设H_0:\qquad\mu=\mu_o=1000\qquad\qquad备择假设H_1：\mu<\mu_o\\ 选统计量：\qquad U = \frac {\bar X - \mu_o}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1)\\ \alpha = 0.05 \qquad 即：P\begin{Bmatrix} |U|<z_{0.05} \end{Bmatrix} = 0.05\qquad查表:z_{0.05}=1.645\\ u = \frac{950-1000}{100/\sqrt{25}}= -2.5\\ \because|\mu|>z_{0.05}\qquad\therefore拒绝H_0，接受H_1，产品不合格由题知：xˉ=950σ=100n=25α=0.05原假设H0:μ=μo=1000备择假设H1：μ<μo选统计量：U=σ/nXˉ−μo∼N(0,1)α=0.05即：P{∣U∣<z0.05}=0.05查表:z0.05=1.645u=100/25950−1000=−2.5∵∣μ∣>z0.05∴拒绝H0，接受H1，产品不合格
四、9. 8
\qquad某厂生产的铜丝，要求其拉断力的方差不超过16(kg)216(kg)^216(kg)2,今从某日生产的铜丝中随机地抽取9根,测得其拉断力为(单位:kg)289.286,285，284,286,285,286，298,292289.286 ,285，284 ,286,285, 286，298 ,292289.286,285，284,286,285,286，298,292设拉断力总体服从正态分布，问该日生产的铜丝的拉断力的方差是否合乎标准?(α=0.05)(\alpha= 0. 05)(α=0.05)
期望 μ\muμ 未知，检验 σ2\sigma^2σ2：
统计量为：k2=(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)k^2 = \frac {(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \,\chi^2 (n-1)k2=σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)拒绝域：(0,χ1−α22(n−1)),(χα22(n−1),+∞)(0,\,\chi_{1 -\frac \alpha2}^2(n-1)),(\chi_{\frac \alpha2}^2(n-1),+\infty )(0,χ1−2α2(n−1)),(χ2α2(n−1),+∞)
注：单侧同上题处理
解：
xˉ=1n−1∑i=1nxi=287.89s2=1n∑i=1n(xi−xˉ)2=20.36n=9α=0.05原假设H0:σ2=16备择假设H1：σ2>16选统计量：k2=(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)H0的拒绝域为：(χα22(n−1),+∞)查表:χ0.052(8)=15.507k2=8×20.3616=10.18∵10.18<15.507∴接受H0，方差不超过16，合乎标准\bar x=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^{n} x_i = 287.89\qquad s^2= \frac 1n\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar x)^2=20.36 \qquad n=9 \qquad \alpha=0.05\\ 原假设H_0:\qquad\sigma^2=16\qquad\qquad备择假设H_1：\sigma^2>16\\ 选统计量：\qquad k^2 = \frac {(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \,\chi^2 (n-1)\\ H_0的拒绝域为：\qquad (\chi_{\frac \alpha2}^2(n-1),+\infty ) \qquad查表:\chi^2_{0.05}(8)=15.507\\ k^2 = \frac{8\times20.36}{16}=10.18\\ \because10.18<15.507\qquad\therefore接受H_0，方差不超过16，合乎标准xˉ=n−11i=1∑nxi=287.89s2=n1i=1∑n(xi−xˉ)2=20.36n=9α=0.05原假设H0:σ2=16备择假设H1：σ2>16选统计量：k2=σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)H0的拒绝域为：(χ2α2(n−1),+∞)查表:χ0.052(8)=15.507k2=168×20.36=10.18∵10.18<15.507∴接受H0，方差不超过16，合乎标准
五、9. 10
\qquad设对某正态总体 X∼N(μ,σ2)X \sim N(μ,\sigma^2)X∼N(μ,σ2) 的均值 μμμ 进行假设检验。H0：μ=μo，H：μ>μoH_0：μ= \mu_o，H：μ >μ_oH0：μ=μo，H：μ>μo，已知 σ=300σ = 300σ=300，取样本容量 n=25n = 25n=25，取 H0H_0H0 的接受域为 (−∞,995)(-\infty,995)(−∞,995). (1) 若 μo=900\mu_o= 900μo=900， 求犯第一类错误(弃真) 的概率 α; (2) 若 μo\mu_oμo不正确，μ=μ1=1070\mu= \mu_1= 1070μ=μ1=1070 正确， 向此时犯第二类错误(取伪)的概率 β\betaβ 是多少? (3) 若要使犯第类错误的概率减少到(1)中 α\alphaα 的一半，同样本容量应增大到多少?
解：
由题知：σ=300n=25H0的接受域为：（−∞,995）H0的拒绝域为：（995,+∞）选统计量：U=Xˉ−μoσ/n∼N(0,1)(1),α=P{弃真}=P{拒绝H0∣H0正确}=P{Xˉ>995∣μ=μo=900}=P{Xˉ−900300/25>995−900300/25}=P{U>1.58}=1−Φ(1.58)=1−0.943=0.057(2),β=P{取伪}=P{接受H0∣H0不正确}=P{Xˉ<995∣μ=μo=1070}=P{Xˉ−1070300/25<995−1070300/25}=P{U<−1.25}=Φ(−1.25)=0.106\begin{aligned} &由题知：\qquad\sigma=300\qquad n=25\qquad\\ H_0的接受域为：&（-\infty,995）\qquad H_0的拒绝域为：（995,+\infty）\\选统&计量：\qquad U = \frac {\bar X - \mu_o}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1)\\ (1),\qquad\alpha &=P\begin{Bmatrix} 弃真 \end{Bmatrix} = P\begin{Bmatrix} 拒绝H_0|H_0正确\end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \bar X>995|\mu = \mu_o = 900 \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \frac{\bar X-900}{300/\sqrt{25}}> \frac{995-900}{300/\sqrt{25}} \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix}U>1.58 \end{Bmatrix}\\ &=1-\Phi(1.58) \\ &= 1-0.943 \\&= 0.057\\ (2),\qquad\beta &=P\begin{Bmatrix} 取伪 \end{Bmatrix} = P\begin{Bmatrix} 接受H_0|H_0不正确\end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \bar X<995|\mu=\mu_o=1070 \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \frac{\bar X-1070}{300/\sqrt{25}}<\frac{995-1070}{300/\sqrt{25}} \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} U<-1.25 \end{Bmatrix}\\ &=\Phi(-1.25)\\ &=0.106\end{aligned}H0的接受域为：选统(1),α(2),β由题知：σ=300n=25（−∞,995）H0的拒绝域为：（995,+∞）计量：U=σ/nXˉ−μo∼N(0,1)=P{弃真}=P{拒绝H0∣H0正确}=P{Xˉ>995∣μ=μo=900}=P{300/25Xˉ−900>300/25995−900}=P{U>1.58}=1−Φ(1.58)=1−0.943=0.057=P{取伪}=P{接受H0∣H0不正确}=P{Xˉ<995∣μ=μo=1070}=P{300/25Xˉ−1070<300/25995−1070}=P{U<−1.25}=Φ(−1.25)=0.106
(3),设样本容量为n，α<0.0572=0.0285α=P{弃真}=P{拒绝H0∣H0正确}=P{Xˉ>995∣μ=μo=900}=P{Xˉ−900300/n>995−900300/n}=P{U>19n60}=1−Φ(19n60)<0.0285即：Φ(19n60)>0.9715得：19n60>1.91n≥37\begin{aligned} (3),\qquad\qquad设样本&容量为n，\ \alpha < \frac {0.057}{2} = 0.0285\\ \qquad\alpha &=P\begin{Bmatrix} 弃真 \end{Bmatrix} = P\begin{Bmatrix} 拒绝H_0|H_0正确\end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \bar X>995|\mu = \mu_o = 900 \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \frac{\bar X-900}{300/\sqrt{n}}> \frac{995-900}{300/\sqrt{n}} \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix}U>\frac{19\sqrt{n}}{60} \end{Bmatrix}\\ &=1-\Phi(\frac{19\sqrt{n}}{60}) < 0.0285 \\ 即：&\qquad\ \ \Phi(\frac{19\sqrt{n}}{60})>0.9715\\ 得：&\qquad\ \ \frac{19\sqrt{n}}{60}>1.91 \qquad n\ge37\end{aligned}(3),设样本α即：得：容量为n，α<20.057=0.0285=P{弃真}=P{拒绝H0∣H0正确}=P{Xˉ>995∣μ=μo=900}=P{300/nXˉ−900>300/n995−900}=P{U>6019n}=1−Φ(6019n)<0.0285Φ(6019n)>0.97156019n>1.91n≥37
注：第三问不太理解，书中的答案是大于等于40。如果按照样本容量为40来计算的话，最后的α是0.0228，满足要求。如果按照样本容量为37的话，最后的α是0.0271，也满足要求。
保留意见，仅供参考
六、9. 12
\qquad现有两箱灯泡今从第一箱中取9只测试，算得平均寿命为1532h，标准差为423h；从第二箱中取18只测试，算得平均寿命为1412h，标准差为380h。设两箱灯泡寿命都服从正态分布，且方差相等，问是否可以认为这两箱灯泡是同一批生产的 ?(α=0.05)?\,(\alpha= 0. 05)?(α=0.05)
解：同一批生产的产品应当是均值、方差都没有显著的变化。n1=9x1ˉ=1532s1=423n2=18x2ˉ=1412s2=380在μ1，μ2未知的情况下，检验两总体的方差比原假设H0:σ12=σ22备择假设H1：σ12≠σ22选统计量：F=s12s22∼F(n1−1,n2−1)H0的拒绝域为：(0,F0.975(8,17))(F0.025(8,17),+∞)查表得：F0.975(8,17)≈0.246F0.025(8,17)=3.06F=42323802=1.239∵0.246<1.239<3.06∴接受H0，即σ12=σ22在σ12,σ22未知的情况下，检验两正态总体的期望差原假设H0:μ1=μ2备择假设H1：μ1≠μ2选统计量：T=Xˉ−YˉSw1n1+1n2∼t(n1+n2−2)Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2H0的拒绝域为：∣T∣>tα/2(n1+n2−2)查表得：t0.025(25)=2.0595Sw2=8×4232+17×38028+17≈155449.28∣t∣=1532−1412Sw219+118≈0.746∵0.746<2.0595∴接受H0，说明两总体的期望差相等综合上述所知，两箱灯泡是同一批生产的同一批生产的产品应当是均值、方差都没有显著的变化。\\n_1=9\qquad \bar {x_1}=1532\qquad s_1=423\\ n_2=18\qquad \bar {x_2}=1412\qquad s_2=380\\ 在\mu_1，\mu_2未知的情况下，检验两总体的方差比\\ 原假设H_0:\qquad\sigma_1^2=\sigma_2^2\qquad\qquad备择假设H_1：\sigma_1^2\ne\sigma_2^2\\ 选统计量：F= \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1)\\ H_0的拒绝域为：\qquad(0,F_{0.975}(8,17)\,)\qquad(F_{0.025}(8,17)\,,+\infty)\\ 查表得：\qquad F_{0.975}(8,17)\approx0.246\qquad F_{0.025}(8,17) =3.06\qquad \\ F = \frac{423^2}{380^2}=1.239\\ \because \qquad0.246<1.239<3.06 \qquad \therefore 接受H_0，即\sigma_1^2=\sigma_2^2\\ 在\sigma_1^2,\sigma_2^2未知的情况下，检验两正态总体的期望差\\ 原假设H_0:\qquad\mu_1=\mu_2\qquad\qquad备择假设H_1：\mu_1\ne\mu_2\\ 选统计量：\qquad T = \frac{\bar X- \bar Y}{S_w\sqrt {\frac1{n_1} + \frac1{n_2}}}\sim t (n_1+n_2-2)\qquad \qquad S_w^2 = \frac {(n_1-1)S_1^2 +(n_2-1)S_2^2 }{n_1+n_2-2}\\ H_0的拒绝域为：\qquad|T|>t_{\alpha/2}({n_1+n_2-2})\\ 查表得：\qquad t_{0.025}(25) = 2.0595\\ S_w^2 = \frac{8\times423^2+17\times380^2}{8+17} \approx 155449.28\\ |t| = \frac{1532-1412}{\sqrt {S_w^2}\sqrt{\frac 19+\frac 1{18}}} \approx 0.746\\ \because \qquad 0.746<2.0595\qquad \therefore接受H_0，说明两总体的期望差相等\\ 综合上述所知，两箱灯泡是同一批生产的 同一批生产的产品应当是均值、方差都没有显著的变化。n1=9x1ˉ=1532s1=423n2=18x2ˉ=1412s2=380在μ1，μ2未知的情况下，检验两总体的方差比原假设H0:σ12=σ22备择假设H1：σ12=σ22选统计量：F=s22s12∼F(n1−1,n2−1)H0的拒绝域为：(0,F0.975(8,17))(F0.025(8,17),+∞)查表得：F0.975(8,17)≈0.246F0.025(8,17)=3.06F=38024232=1.239∵0.246<1.239<3.06∴接受H0，即σ12=σ22在σ12,σ22未知的情况下，检验两正态总体的期望差原假设H0:μ1=μ2备择假设H1：μ1=μ2选统计量：T=Swn11+n21Xˉ−Yˉ∼t(n1+n2−2)Sw2=n1+n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S22H0的拒绝域为：∣T∣>tα/2(n1+n2−2)查表得：t0.025(25)=2.0595Sw2=8+178×4232+17×3802≈155449.28∣t∣=Sw291+1811532−1412≈0.746∵0.746<2.0595∴接受H0，说明两总体的期望差相等综合上述所知，两箱灯泡是同一批生产的
▌总结
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