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前言一、8. 1二、8. 4三、8. 6四、8. 7五、8. 8六、8. 11七、8. 12▌总结

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前言

\qquad参数估计是统计推断的基本问题之一. 在很多实际问题中，我们知道总体的分布，但不知道分布的参数. 因此需要对未知的参数作出估计，这就是参数估计问题. 这里主要有两类估计: 一类是点估计，另一类是区间估计.

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仅供参考

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一、8. 1

设总体X的密度函数为f(x)={θCθx−(θ+1),x>C0,x⩽Cf(x) = \begin{cases} θC^θx^{-(θ+1)}, & \text{x > C} \\ 0, & \text x \leqslant C \end{cases} f(x)={θCθx−(θ+1),0,​x>Cx⩽C​

C>0C>0C>0 为已知，θ>1θ>1θ>1. X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1​,X2​,...,Xn​为简单随机样本.

(1)求θ的矩估计量;

(2)求θ的极大似然估计量.

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矩估计：

用样本的矩, 代替总体的矩。

通常考试中只用到一阶和二阶。

一阶Xˉ=1n∑Xi→一阶EX一阶 \bar X = \frac 1n \sum X_i \xrightarrow{} 一阶 EX一阶Xˉ=n1​∑Xi​​一阶EX

二阶A2=1n∑Xi2→二阶EX2二阶 A_2 = \frac 1n \sum X_i^2 \xrightarrow{} 二阶 EX^2二阶A2​=n1​∑Xi2​​二阶EX2

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极大似然估计

完完全全的步骤法：

(1) . 写出总体的概率函数（离散型）或者密度函数（连续性）

(2) . 写出似然函数L(θ)L(θ)L(θ) （θθθ为待估计参数）

(3) . 两边同时取对数 ln⁡\lnln

(4) . 对θθθ求导，令导数等于000，解出θθθ，即为θ^\hatθθ^.（注：若第(4)步无解，回归原始定义，找到θ^\hatθθ^使L(x,L(x,L(x,θ^\hatθθ^)))最大.）

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解：(1).

EX=∫c∞xθCθx−(θ+1)dx=θCθ∫c∞x−θdx=θCθ−1=μEX = \int_c^\infty xθC^θx^{-(θ+1)}\, dx = θC^θ\int_c^\infty x^{-θ} dx = \frac {θC}{θ-1} = μEX=∫c∞​xθCθx−(θ+1)dx=θCθ∫c∞​x−θdx=θ−1θC​=μ

即：μ=Xˉ=θCθ−1,得：θ^=XˉXˉ−C即： μ = \bar X = \frac {θC}{θ-1}, 得：\hat θ = \frac {\bar X}{\bar X-C}即：μ=Xˉ=θ−1θC​,得：θ^=Xˉ−CXˉ​

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(2).

似然函数：L(θ)=∏i=1nθCθxi−(θ+1)=θnCnθ∏i=1nxi−(θ+1)似然函数： L(θ) = \prod_{i=1}^n θC^θx_i^{-(θ+1)} = θ^nC^{nθ} \prod_{i=1}^n x_i^{-(θ+1)}似然函数：L(θ)=i=1∏n​θCθxi−(θ+1)​=θnCnθi=1∏n​xi−(θ+1)​

取对数：ln⁡L(θ)=nln⁡θ+nθln⁡C−(θ+1)∑i=1nln⁡xi取对数： \ln L(θ) = n\lnθ + nθ\ln C - (θ+1)\sum_{i=1}^n \ln x_i取对数：lnL(θ)=nlnθ+nθlnC−(θ+1)i=1∑n​lnxi​

令导数为0：dln⁡(θ)dθ=nθ+nln⁡C−∑i=1nln⁡xi=0令导数为0：\frac {d\ln (θ)}{dθ} = \frac nθ + n\ln C - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0令导数为0：dθdln(θ)​=θn​+nlnC−i=1∑n​lnxi​=0

解得：θ^=n∑i=1nln⁡xi−nln⁡C解得： \hat θ = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i - n\ln C}解得：θ^=∑i=1n​lnxi​−nlnCn​

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二、8. 4

设总体X的密度函数为f(x)={λαxα−1e−λxα,x>00,x⩽0f(x) = \begin{cases} \lambda αx^{α-1}e^{-\lambda x^α}, & \text{x > 0} \\ 0, & \text x \leqslant 0 \end{cases} f(x)={λαxα−1e−λxα,0,​x>0x⩽0​

其中α>0α>0α>0是已知常数，λ>0\lambda > 0λ>0是未知参数， X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1​,X2​,...,Xn​为简单随机样本，求λ\lambdaλ的极大似然估计量.

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解：

似然函数：L(λ)=∏i=1nλαxiα−1e−λxiα=λnαn∏i=1nxiα−1e−λ∑i=1nxiα似然函数：L(λ) = \prod_{i=1}^n λαx_i^{α-1}e^{-\lambda x_i^α} = λ^n\alpha^n \prod_{i=1}^n x_i^{α-1}e^{-\lambda \sum _{i=1}^n x_i^α}似然函数：L(λ)=i=1∏n​λαxiα−1​e−λxiα​=λnαni=1∏n​xiα−1​e−λ∑i=1n​xiα​

取对数：ln⁡L(λ)=nln⁡λ+nln⁡α+ln⁡∏i=1nxiα−1−λ∑i=1nxiα取对数： \ln L(λ) = n\lnλ + n\ln α +\ln \prod _{i=1}^n x_i^{α-1} - λ\sum_{i=1}^n x_i^\alpha 取对数：lnL(λ)=nlnλ+nlnα+lni=1∏n​xiα−1​−λi=1∑n​xiα​

令导数为0：dln⁡(λ)dλ=nλ−∑i=1nxiα=0令导数为0：\frac {d\ln (λ)}{dλ} = \frac nλ -\sum_{i=1}^n x_i^\alpha = 0令导数为0：dλdln(λ)​=λn​−i=1∑n​xiα​=0

解得：λ^=n∑i=1nxiα解得： \hat λ = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i^\alpha}解得：λ^=∑i=1n​xiα​n​

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三、8. 6

设某种清漆的9个样品，其干燥时间(单位:h)分别为

6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.06.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.06.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0.

设干燥时间总体TTT~N(μ,σ)N(μ,\sigma)N(μ,σ)，就下面两种情况求μμμ的置信度为0. 95的双侧置信区间.

(1) σ\sigmaσ = 0.6(h);

(2) σσσ 未知.

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区间估计：

也是固定套路，分别求出所需要的各种参数，然后代入公式

注：Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2S_w^2 = \frac {(n_1-1)S_1^2 +(n_2-1)S_2^2 }{n_1+n_2-2}Sw2​=n1​+n2​−2(n1​−1)S12​+(n2​−1)S22​​

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解：(1).∵1−α=0.95∴α2=0.025n=9,σ=0.6δ=σnz0.025=0.69×1.96=0.392Xˉ=19×(6.0+5.7+5.8+6.5+7.0+6.3+5.6+6.1+5.0)=6.0μ的置信度为0.95的双侧置信区间为：(Xˉ−δ,Xˉ+δ)=(5.608,6.392)\because 1-\alpha = 0.95 \qquad \therefore \frac \alpha2 = 0.025 \qquad n=9,\sigma=0.6\\ \delta =\frac{\sigma}{\sqrt n}z_{0.025} =\frac{0.6}{\sqrt 9}\times1.96=0.392\\ \bar X = \frac 19\times(6.0+5.7+5.8+6.5+7.0+6.3+5.6+6.1+5.0)=6.0\\ μ的置信度为 0. 95 的双侧置信区间为：(\bar X-\delta,\bar X+\delta)=(5.608,6.392) ∵1−α=0.95∴2α​=0.025n=9,σ=0.6δ=n​σ​z0.025​=9​0.6​×1.96=0.392Xˉ=91​×(6.0+5.7+5.8+6.5+7.0+6.3+5.6+6.1+5.0)=6.0μ的置信度为0.95的双侧置信区间为：(Xˉ−δ,Xˉ+δ)=(5.608,6.392)

(2).

∵σ未知∴σ的1−α置信区间为：(Xˉ−tα2(n−1)Sn,Xˉ+tα2(n−1)Sn)对抽样的样本值有(xˉ−tα2(n−1)sn,xˉ+tα2(n−1)sn)s=s2=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1=0.5745查表t0.025=2.306∴代入得：μ的置信度为0.95的双侧置信区间(5.558,6.418)\because\sigma未知 \qquad \therefore \sigma的1-\alpha置信区间为：\left(\bar X-t_\frac \alpha2(n-1) \frac S{\sqrt n},\bar X+t_\frac \alpha2(n-1) \frac S{\sqrt n}\right) \\ 对抽样的样本值有\left(\bar x-t_\frac \alpha2(n-1) \frac s{\sqrt n},\bar x+t_\frac \alpha2(n-1) \frac s{\sqrt n}\right)\\ s=\sqrt {s^2} = \sqrt {\frac {\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}{n-1}} = 0.5745\\ 查表\qquad t_{0.025}=2.306\\ \therefore代入得：μ的置信度为 0. 95 的双侧置信区间(5.558,6.418)∵σ未知∴σ的1−α置信区间为：(Xˉ−t2α​​(n−1)n​S​,Xˉ+t2α​​(n−1)n​S​)对抽样的样本值有(xˉ−t2α​​(n−1)n​s​,xˉ+t2α​​(n−1)n​s​)s=s2​=n−1∑i=1n​(xi​−xˉ)2​​=0.5745查表t0.025​=2.306∴代入得：μ的置信度为0.95的双侧置信区间(5.558,6.418)

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四、8. 7

就8.6题中的两种情况求 μμμ 的置信度为 0. 95 的单侧置信上限。

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单侧置信区间：

欲求置信度为1−α的单侧置信区间(θ‾,+∞)或(−∞,θ‾)可以先求置信度为1−2α的双侧置信区间(θ‾,θ‾)由(θ‾,θ‾)自然就得出两个单侧置信区间(−∞,θ‾)和(θ‾,+∞)根据需要取其一，就是置信度为1−α的单侧置信区间.欲求置信度为 1 - α 的单侧置信区间(\underline{\theta}, +∞)或(-∞,\overline{\theta})\\可以先求置信度为1-2α的双侧置信区间(\underline{\theta},\overline{\theta})\\由(\underline{\theta},\overline{\theta})自然就得出两个单侧置信区间(-∞,\overline{\theta})和(\underline{\theta}, +∞)\\根据需要取其一，就是置信度为1-α的单侧置信区间.欲求置信度为1−α的单侧置信区间(θ​,+∞)或(−∞,θ)可以先求置信度为1−2α的双侧置信区间(θ​,θ)由(θ​,θ)自然就得出两个单侧置信区间(−∞,θ)和(θ​,+∞)根据需要取其一，就是置信度为1−α的单侧置信区间.

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解：1−α=0.95α=0.051−2α=0.90n=9σ=0.6xˉ=6.0s=0.5745查表:z0.05=1.645t0.05=1.85951-\alpha = 0.95 \qquad \alpha= 0.05 \qquad 1-2\alpha = 0.90 \\ n=9\qquad\sigma=0.6 \qquad \bar x=6.0 \qquad s=0.5745\\ 查表:\qquad z_{0.05}=1.645\qquad t_{0.05}=1.85951−α=0.95α=0.051−2α=0.90n=9σ=0.6xˉ=6.0s=0.5745查表:z0.05​=1.645t0.05​=1.8595

(1) σ=0.6\sigma = 0.6σ=0.6,

μ‾=xˉ+z0.05σn=6.0+1.645×0.2=6.329\overline \mu=\bar x + z_{0.05}\frac {\sigma}{\sqrt n} = 6.0+1.645\times0.2=6.329μ​=xˉ+z0.05​n​σ​=6.0+1.645×0.2=6.329

(2) σσσ 未知,

μ‾=xˉ+t0.05(8)sn=6.0+1.8595×0.57459=6.356\overline \mu=\bar x+t_{0.05}(8) \frac s{\sqrt n} = 6.0+1.8595\times \frac {0.5745}{\sqrt 9} = 6.356μ​=xˉ+t0.05​(8)n​s​=6.0+1.8595×9​0.5745​=6.356

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五、8. 8

随机取某种炮弹 9 发做试验，求得炮口速度的样本标准差S=11(m/s)S = 11(m/s)S=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布 N(μ,σ)N(μ,\sigma)N(μ,σ)，求炮口速度的均方差σσσ的置信度为 0.95 的双侧置信区间。

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解：1−α=0.95α=0.05α/2=0.025n−1=8s2=121查表:χ0.0252(8)=17.535χ0.9752(8)=2.180∴(n−1)s2χα/22(n−1)=96817.535=55.203(n−1)s2χ1−α22(n−1)=9682.180=444.036∴均方差σ的置信区间：(σ‾,σ‾)=(55.203,444.036)=（7.4,21.1）1-\alpha = 0.95 \qquad \alpha= 0.05 \qquad \alpha/2 = 0.025 \qquad n-1=8 \qquad s^2=121\\ 查表:\qquad \chi_{0.025}^2(8)=17.535\qquad \chi_{0.975}^2(8)=2.180\\ \therefore\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}=\frac{968}{17.535}=55.203\qquad\frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\frac \alpha2}^2(n-1)}=\frac{968}{2.180}=444.036\\ \therefore均方差\sigma的置信区间：\qquad (\underline\sigma,\overline\sigma) = (\sqrt{55.203},\sqrt{444.036}) = （7.4,21.1）1−α=0.95α=0.05α/2=0.025n−1=8s2=121查表:χ0.0252​(8)=17.535χ0.9752​(8)=2.180∴χα/22​(n−1)(n−1)s2​=17.535968​=55.203χ1−2α​2​(n−1)(n−1)s2​=2.180968​=444.036∴均方差σ的置信区间：(σ​,σ)=(55.203​,444.036​)=（7.4,21.1）

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六、8. 11

研究两种燃料的燃烧率，设两者分别服从正态分布 N(μ1,0.052),N(μ2,0.052)N(\mu_1,0.05^2),N(\mu_2,0.05^2)N(μ1​,0.052),N(μ2​,0.052)。取样本容量 n1=n2=20n_1= n_2 = 20n1​=n2​=20 的两组独立样本，求得燃烧率的样本均值分别为 18，24，求两种燃料燃烧率总体均值差 (μ1−μ2)(\mu_1 - \mu_2)(μ1​−μ2​) 的 置信度为 0.99 的双侧置信区间.

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解：1−α=0.99α=0.01α/2=0.005n1=n2=20n1+n2−2=38查表:z0.005=2.58∴δ=zα2σ12n1+σ22n2=0.04∴(μ1−μ2)的置信度为0.99的双侧置信区间：(μ1−μ2‾,μ1−μ2‾)=(Xˉ−Yˉ−δ,Xˉ−Yˉ+δ)=（−6.04,−5.96）1-\alpha = 0.99 \qquad \alpha= 0.01 \qquad \alpha/2 = 0.005 \qquad n_1=n_2=20 \qquad n_1+n_2-2=38\\ 查表:z_{0.005}=2.58\\ \therefore\delta =z_\frac \alpha2 \sqrt {\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}=0.04\\ \therefore(\mu_1 - \mu_2)的 置信度为 0.99 的双侧置信区间：\\ \qquad (\underline{\mu_1 - \mu_2},\overline{\mu_1 - \mu_2}) = (\bar X- \bar Y - \delta,\bar X- \bar Y +\delta ) = （-6.04,-5.96）1−α=0.99α=0.01α/2=0.005n1​=n2​=20n1​+n2​−2=38查表:z0.005​=2.58∴δ=z2α​​n1​σ12​​+n2​σ22​​​=0.04∴(μ1​−μ2​)的置信度为0.99的双侧置信区间：(μ1​−μ2​​,μ1​−μ2​​)=(Xˉ−Yˉ−δ,Xˉ−Yˉ+δ)=（−6.04,−5.96）

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七、8. 12

两化验员甲,乙各自独立地用相同的方法对某种聚合物的含氯量各做 10 次测量，分别求得测定值的样本方差为s12=0.5419,s22=0.6065s_1^2 = 0. 5419,s_2^2 = 0. 6065s12​=0.5419,s22​=0.6065，设测定值总体,分别服从正态分布N(μ1,σ2),N(μ2,σ2)N(\mu_1,\sigma^2),N(\mu_2,\sigma^2)N(μ1​,σ2),N(μ2​,σ2)，试求方差比 (σ12/σ22)(\sigma_1^2/\sigma_2^2)(σ12​/σ22​) 的置信度为 0. 95 的双侧置信区间.

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解：1−α=0.95α/2=0.025n1−1=n2−1=9查表:F0.025(9,9)=4.03F0.975(9,9)=0.248s12=0.5419s22=0.6065∴(S12/S22Fα/2(n1−1,n2−1),S12S22Fα2(n1−1,n2−1))=(0.5419/0.60654.03,0.54190.6065×4.03)=(0.222,3.601)1-\alpha = 0.95 \qquad \alpha/2 = 0.025 \qquad n_1-1=n_2-1=9 \\ 查表:F_{0.025}(9,9)=4.03\qquad F_{0.975}(9,9)=0.248\\ s_1^2=0.5419\qquad s_2^2=0.6065\\ \therefore\qquad\left (\frac {S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},\frac {S_1^2} {S_2^2}F_\frac\alpha2 (n_1-1,n_2-1)\right) = (\frac{{0.5419}/{0.6065}}{4.03},\frac{0.5419}{0.6065}\times4.03)=(0.222,3.601)1−α=0.95α/2=0.025n1​−1=n2​−1=9查表:F0.025​(9,9)=4.03F0.975​(9,9)=0.248s12​=0.5419s22​=0.6065∴(Fα/2​(n1​−1,n2​−1)S12​/S22​​,S22​S12​​F2α​​(n1​−1,n2​−1))=(4.030.5419/0.6065​,0.60650.5419​×4.03)=(0.222,3.601)

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▌总结

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附：

\qquad第九章传送门

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