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前言一、11. 1二、11. 2三、11. 3四、11. 4▌总结前言
\qquad只要精度稍有不同，结果就五花八门
仅供参考
一、11. 1
一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关。在不同温度下吸附的重量Y,测得结果列于下表中设对于给定的x,Y为正态变量,方差与x无关.一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关。在不同温度下吸附的重量 Y,测得结果列于下表中\\ 设对于给定的 x ,Y 为正态变量,方差与 x 无关.一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关。在不同温度下吸附的重量Y,测得结果列于下表中设对于给定的x,Y为正态变量,方差与x无关.
试求吸附量Y关于温度x的一元回归方程.试求吸附量 Y 关于温度 x 的一元回归方程.试求吸附量Y关于温度x的一元回归方程.
代入公式：
Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉb^=SxxSxya^=yˉ−xˉb^S_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} \\ \hat a = \bar y - \bar x\hat bSxx=i=1∑nxi2−nxˉ2Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉb^=SxySxxa^=yˉ−xˉb^
解：
n=9∑i=19xi=30.3∑i=19yi=91.1xˉ=19×30.3=3.3667yˉ=19×91.1=10.1222∑i=19xi2=115.11∑i=19xiyi=345.09Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2=115.11−9×3.36672=12.988Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉ=345.09−9×3.3667×10.1222=38.3843b^=SxxSxy=2.95a^=yˉ−xˉb^=0.19吸附量Y关于温度x的一元回归方程为：y^=0.19+2.95xn = 9 \qquad \sum_{i=1}^9x_i = 30.3\qquad \sum_{i=1}^9y_i = 91.1\\ \bar x = \frac19\times30.3 = 3.3667\qquad \bar y = \frac19\times91.1 = 10.1222\\ \sum_{i=1}^9x_i^2 = 115.11\qquad \sum_{i=1}^9x_iy_i = 345.09\\ S_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2 = 115.11-9\times3.3667^2=12.988\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y = 345.09-9\times3.3667\times10.1222 = 38.3843\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} = 2.95\\ \hat a = \bar y - \bar x\hat b = 0.19\\ 吸附量 Y 关于温度 x 的一元回归方程为：\\ \hat y = 0.19 + 2.95xn=9i=1∑9xi=30.3i=1∑9yi=91.1xˉ=91×30.3=3.3667yˉ=91×91.1=10.1222i=1∑9xi2=115.11i=1∑9xiyi=345.09Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2=115.11−9×3.36672=12.988Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉ=345.09−9×3.3667×10.1222=38.3843b^=SxySxx=2.95a^=yˉ−xˉb^=0.19吸附量Y关于温度x的一元回归方程为：y^=0.19+2.95x
二、11. 2
合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数今发现它和电流的周波有密切关系，生产中测量数据如下表：合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数\\ 今发现它和电流的周波有密切关系，生产中测量数据如下表：合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数今发现它和电流的周波有密切关系，生产中测量数据如下表：
设对周波x,速度Y是正态变量，方差与x无关,求速度Y关于周波x的一元回归方程并对回归方程进行显著性检验，求出x0=50.5处y的预报值y0和预报区间(α=0.05)设对周波 x,速度 Y 是正态变量，方差与 x 无关,求速度 Y 关于周波 x 的一元回归方程\\ 并对回归方程进行显著性检验，求出 x_0= 50. 5 处 y 的预报值 y_0 和预报区间(\alpha= 0. 05)设对周波x,速度Y是正态变量，方差与x无关,求速度Y关于周波x的一元回归方程并对回归方程进行显著性检验，求出x0=50.5处y的预报值y0和预报区间(α=0.05)
代入公式：
Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉSyy=∑j=1nyj2−nyˉ2b^=SxxSxya^=yˉ−xˉb^Qe=Syy−(b^2)Sxxσ2^=Qen−2δ(x0)=tα2(n−2)σ^1+1n+(x0−xˉ)2SxxS_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y\\ S_{yy} = \sum_{j=1}^ny_j^2-n \bar y^2\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} \\ \hat a = \bar y - \bar x\hat b\\ Q_e = S_{yy} - (\hat b^2)S_{xx}\\ \hat {\sigma^2} = \frac{Q_e}{n-2}\\ \delta(x_0) = t_{\frac\alpha2}(n-2)\hat\sigma\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉSyy=j=1∑nyj2−nyˉ2b^=SxySxxa^=yˉ−xˉb^Qe=Syy−(b^2)Sxxσ2^=n−2Qeδ(x0)=t2α(n−2)σ^1+n1+Sxx(x0−xˉ)2
解：
n=10∑i=110xi=496.1∑i=110yi=168.6xˉ=49.61yˉ=16.86∑i=110xi2=24613.51∑i=110xiyi=8364.92Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2=24613.51−10×49.612=1.989Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉ=8364.92−10×49.61×16.86=0.674Syy=∑j=1nyj2−nyˉ2=2842.84−10×16.862=0.244b^=SxxSxy≈0.339≈0.34a^=yˉ−xˉb^≈0.04速度Y关于周波x的一元回归方程为：y^=0.04+0.34xQe=Syy−(b^2)Sxx=0.0156σ2^=Qen−2=0.00195∣t∣=b^Sxx/σ^=10.82查表：t0.025(8)=2.306∵10.82>2.306,即∣t∣值在H0的拒绝域内∴回归效果是显著的在x0=50.5处的预报值：y0^=0.04+0.34×50.5=17.21∵tα2(n−2)=2.306xˉ=49.61x0−xˉ=0.89σ^=0.044∴δ(50.5)=tα2(n−2)σ^1+1n+(x0−xˉ)2Sxx=0.124预报区间为：（17.21−0.124,17.21+0.124）=（17.086,17.334）n = 10 \qquad \sum_{i=1}^{10}x_i = 496.1\qquad \sum_{i=1}^{10}y_i = 168.6\\ \bar x = 49.61\qquad \bar y = 16.86\\ \sum_{i=1}^{10}x_i^2 = 24613.51\qquad \sum_{i=1}^{10}x_iy_i = 8364.92\\ S_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2 = 24613.51-10\times49.61^2=1.989\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y = 8364.92-10\times 49.61\times16.86= 0.674\\ S_{yy} = \sum_{j=1}^ny_j^2-n \bar y^2 = 2842.84-10\times16.86^2=0.244\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} \approx 0.339\approx0.34\\ \hat a = \bar y - \bar x\hat b \approx 0.04\\ 速度 Y 关于周波 x 的一元回归方程为：\\ \hat y = 0.04+0.34x\\ \\ \quad\\ Q_e = S_{yy} - (\hat b^2)S_{xx} = 0.0156\\ \hat {\sigma^2} = \frac{Q_e}{n-2} = 0.00195\\ |t| = \hat b \sqrt {S_{xx}}/\hat \sigma = 10.82\qquad 查表：t_{0.025}(8) = 2.306\\ \because10.82 > 2.306,\ \ 即|t|值在H_0的拒绝域内\ \ \therefore回归效果是显著的\\ \\ \quad\\ 在x_0= 50. 5 处的预报值： \hat {y_0} = 0.04+0.34\times50.5 = 17.21\\ \because t_{\frac\alpha2}(n-2) = 2.306\ \ \ \ \bar x = 49.61\ \ \ \ x_0-\bar x=0.89\ \ \ \ \hat\sigma = 0.044\\ \therefore \delta(50.5) = t_{\frac\alpha2}(n-2)\hat\sigma\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}} = 0.124\\ 预报区间为： \quad（17.21-0.124,17.21+0.124） = （17.086,17.334）n=10i=1∑10xi=496.1i=1∑10yi=168.6xˉ=49.61yˉ=16.86i=1∑10xi2=24613.51i=1∑10xiyi=8364.92Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2=24613.51−10×49.612=1.989Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉ=8364.92−10×49.61×16.86=0.674Syy=j=1∑nyj2−nyˉ2=2842.84−10×16.862=0.244b^=SxySxx≈0.339≈0.34a^=yˉ−xˉb^≈0.04速度Y关于周波x的一元回归方程为：y^=0.04+0.34xQe=Syy−(b^2)Sxx=0.0156σ2^=n−2Qe=0.00195∣t∣=b^Sxx/σ^=10.82查表：t0.025(8)=2.306∵10.82>2.306,即∣t∣值在H0的拒绝域内∴回归效果是显著的在x0=50.5处的预报值：y0^=0.04+0.34×50.5=17.21∵t2α(n−2)=2.306xˉ=49.61x0−xˉ=0.89σ^=0.044∴δ(50.5)=t2α(n−2)σ^1+n1+Sxx(x0−xˉ)2=0.124预报区间为：（17.21−0.124,17.21+0.124）=（17.086,17.334）
三、11. 3
流经某地区的一条河的径流量Y与该地区降雨量r之间有关，多次测得数据列于下表：流经某地区的一条河的径流量Y与该地区降雨量r之间有关，多次测得数据列于下表：流经某地区的一条河的径流量Y与该地区降雨量r之间有关，多次测得数据列于下表：
设径流量Y是正态变量，方差与x无关,求Y关于x的一元回归方程,并求σ2的估计值求x0=155时Y的预报值y^0及预报区间(α=0.05).设径流量Y是正态变量，方差与x无关,求Y关于 x 的一元回归方程,并求σ^2的估计值\\ 求x_0 = 155时Y的预报值\hat y_0及预报区间(\alpha = 0. 05).设径流量Y是正态变量，方差与x无关,求Y关于x的一元回归方程,并求σ2的估计值求x0=155时Y的预报值y^0及预报区间(α=0.05).
公式同上
Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉSyy=∑j=1nyj2−nyˉ2b^=SxxSxya^=yˉ−xˉb^Qe=Syy−(b^2)Sxxσ2^=Qen−2δ(x0)=tα2(n−2)σ^1+1n+(x0−xˉ)2SxxS_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y\\ S_{yy} = \sum_{j=1}^ny_j^2-n \bar y^2\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} \\ \hat a = \bar y - \bar x\hat b\\ Q_e = S_{yy} - (\hat b^2)S_{xx}\\ \hat {\sigma^2} = \frac{Q_e}{n-2}\\ \delta(x_0) = t_{\frac\alpha2}(n-2)\hat\sigma\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉSyy=j=1∑nyj2−nyˉ2b^=SxySxxa^=yˉ−xˉb^Qe=Syy−(b^2)Sxxσ2^=n−2Qeδ(x0)=t2α(n−2)σ^1+n1+Sxx(x0−xˉ)2
解：
n=11xˉ=143611=130.545yˉ=480.411=43.673∑i=1nxi2=32∑i=1nxiyi=71424.8∑i=1nyi2=27030.96Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2=13770.03Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉ=8710.59Syy=∑j=1nyj2−nyˉ2=6050.582b^=SxxSxy=0.63a^=yˉ−xˉb^=−38.91Y关于x的一元回归方程：y^=−38.91+0.63xQe=Syy−(b^2)Sxx=585.257σ2^=Qen−2=65.03在x0=155，预报值为：y0^=−38.91+0.63×155=58.74∵tα2(n−2)=2.2622x0−xˉ=24.455σ^=8.064∴δ(155)=tα2(n−2)σ^1+1n+(x0−xˉ)2Sxx=19.43预报区间为：（58.74−19.43,58.74+19.43）=（39.31,78.17）n = 11 \qquad \bar x = \frac{1436}{11} = 130.545\qquad \bar y = \frac{480.4}{11} = 43.673\\ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 = 32\qquad \sum_{i=1}^{n}x_iy_i = 71424.8\quad \sum_{i=1}^{n}y_i^2 = 27030.96\\ S_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2 = 13770.03\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y = 8710.59\\ S_{yy} = \sum_{j=1}^ny_j^2-n \bar y^2 = 6050.582\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} = 0.63 \qquad \hat a = \bar y - \bar x\hat b = -38.91\\ Y关于 x 的一元回归方程： \hat y = -38.91+0.63x\\ \\ \quad\\ Q_e = S_{yy} - (\hat b^2)S_{xx} = 585.257\\ \hat {\sigma^2} = \frac{Q_e}{n-2} = 65.03\\ 在x_0=155，预报值为： \hat {y_0} = -38.91+0.63\times155 = 58.74\\ \because t_{\frac\alpha2}(n-2) = 2.2622\ \ \ \ x_0-\bar x=24.455\ \ \ \ \hat\sigma = 8.064\\ \therefore \delta(155) = t_{\frac\alpha2}(n-2)\hat\sigma\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}} = 19.43\\ 预报区间为： \quad（58.74-19.43,58.74+19.43） = （39.31,78.17）n=11xˉ=111436=130.545yˉ=11480.4=43.673i=1∑nxi2=32i=1∑nxiyi=71424.8i=1∑nyi2=27030.96Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2=13770.03Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉ=8710.59Syy=j=1∑nyj2−nyˉ2=6050.582b^=SxySxx=0.63a^=yˉ−xˉb^=−38.91Y关于x的一元回归方程：y^=−38.91+0.63xQe=Syy−(b^2)Sxx=585.257σ2^=n−2Qe=65.03在x0=155，预报值为：y0^=−38.91+0.63×155=58.74∵t2α(n−2)=2.2622x0−xˉ=24.455σ^=8.064∴δ(155)=t2α(n−2)σ^1+n1+Sxx(x0−xˉ)2=19.43预报区间为：（58.74−19.43,58.74+19.43）=（39.31,78.17）
四、11. 4
某种化工产品的得率Y与反应温度x1,反应时间x2及某反应物的浓度x3有关，设对于给定的x1,x2,x3得率Y服从正态分布，且方差与x1,x2,x3无关,今得测试结果如下表所示,其中x1,x2,x3均为2水平且均以编码形式表达某种化工产品的得率Y与反应温度x_1,反应时间x_2及某反应物的浓度x_3有关，\\ 设对于给定的x_1,x_2,x_3得率Y服从正态分布，且方差与x_1,x_2,x_3无关,\\ 今得测试结果如下表所示,其中x_1,x_2,x_3均为2水平且均以编码形式表达某种化工产品的得率Y与反应温度x1,反应时间x2及某反应物的浓度x3有关，设对于给定的x1,x2,x3得率Y服从正态分布，且方差与x1,x2,x3无关,今得测试结果如下表所示,其中x1,x2,x3均为2水平且均以编码形式表达
(1)设μ(x1,x2,x3)=b0+b1x1+b2x2+b3x3,求Y的多元线性回归方程;(2)若认为反应时间不影响得率，即认为μ(x1,x2,x3)=β0+β1x1+β3x3,求Y的多元线性回归方程.(1)设\mu(x_1,x_2,x_3) = b_0+ b_1x_1 +b_2x_2+b_3x_3,求Y的多元线性回归方程;\\ (2)若认为反应时间不影响得率，即认为\mu(x_1,x_2,x_3)=β_0+ β_1x_1 +β_3x_3,求Y的多 元线性回归方程.(1)设μ(x1,x2,x3)=b0+b1x1+b2x2+b3x3,求Y的多元线性回归方程;(2)若认为反应时间不影响得率，即认为μ(x1,x2,x3)=β0+β1x1+β3x3,求Y的多元线性回归方程.
代入公式：
X=[1x11x21⋯xk11x12x23⋯xk3⋮⋱⋱⋮1x1nx2n⋯xkn]Y=[y1y2⋮yn]B=[b0b1⋮bk]B=(XTX)−1XTYX = \begin{bmatrix} 1 & x_{11}& x_{21}\cdots & x_{k1} \\ 1 & x_{12}& x_{23}\cdots & x_{k3}\\\vdots & \ddots& \ddots & \vdots \\ 1 & x_{1n}& x_{2n}\cdots & x_{kn} \end{bmatrix}\\ \\\quad\\ Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\\vdots \\ y_n \end{bmatrix}\\ \\\quad\\ B = \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\\vdots \\ b_k \end{bmatrix}\\ \\\quad\\ B = (X^TX)^{-1}X^TYX=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮1x11x12⋱x1nx21⋯x23⋯⋱x2n⋯xk1xk3⋮xkn⎦⎥⎥⎥⎤Y=⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤B=⎣⎢⎢⎢⎡b0b1⋮bk⎦⎥⎥⎥⎤B=(XTX)−1XTY
解：
(1).X=[1−1−1−11−1−111−11−11−11111−1−111−11111−11111]Y=[7.610.39.210.28.411.19.812.6]B=[b0b1b2b3]XTX=[8888]XTY=[79.24.64.49.2]B=(XTX)−1XTY=[9.90.5750.551.15]∴Y的多元线性回归方程为：y^=9.9+0.575x1+0.55x2+1.15x3X = \begin{bmatrix} 1 & -1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1 \\1& -1& 1& -1 \\ 1& -1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& 1& -1& 1\\ 1& 1& 1& -1\\ 1& 1& 1& 1\end{bmatrix}\\ Y = \begin{bmatrix} 7.6\\10.3\\9.2\\10.2\\8.4\\11.1\\9.8\\12.6 \end{bmatrix}\\ B = \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\\ X^TX = \begin{bmatrix} 8 & & & \\ & 8& & \\& & 8& \\ & & & 8\end{bmatrix}\\ X^TY = \begin{bmatrix} 79.2\\4.6\\4.4\\9.2 \end{bmatrix}\\ B = (X^TX)^{-1}X^TY = \begin{bmatrix} 9.9\\0.575\\0.55\\1.15 \end{bmatrix}\\ \therefore Y的多元线性回归方程为：\qquad \hat y = 9.9+0.575x_1+0.55x_2+1.15x_3X=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡11111111−1−1−1−11111−1−111−1−111−11−11−11−11⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤Y=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡7.610.39.210.28.411.19.812.6⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤B=⎣⎢⎢⎡b0b1b2b3⎦⎥⎥⎤XTX=⎣⎢⎢⎡8888⎦⎥⎥⎤XTY=⎣⎢⎢⎡79.24.64.49.2⎦⎥⎥⎤B=(XTX)−1XTY=⎣⎢⎢⎡9.90.5750.551.15⎦⎥⎥⎤∴Y的多元线性回归方程为：y^=9.9+0.575x1+0.55x2+1.15x3
(2).若反应时间不影响得率，即认为:b2=0∴Y的多元线性回归方程为：y^=9.9+0.575x1+1.15x3若反应时间不影响得率，即认为:\ b_2 = 0\\ \therefore Y的多元线性回归方程为：\qquad \hat y = 9.9+0.575x_1+1.15x_3若反应时间不影响得率，即认为:b2=0∴Y的多元线性回归方程为：y^=9.9+0.575x1+1.15x3
