方案设计型问题是设置一个问题情景,给出若干信息,提出解决问题的要求,寻找恰当的解决方案,有时还给出几个不同的解决方案,要求判断其中哪个方案最优。方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力。方案设计型问题,主要有以下几种类型:
(1) 与方程或不等式有关的方案设计问题
(2) 与函数有关的方案设计问题
(3) 与几何图形有关的方案设计问题
1.与方程或不等式有关的方案设计问题:首先要了解问题取材的生活背景;其次要弄清题意,根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型,求出所求未知数的取值范围;最后再结合实际问题确定方案设计的种数.21·世纪*教育网
主要步骤:
a.利用方程、不等式建立相应的数学模型;
b.列出方程(组)或不等式(组)
c.通过解方程(组)或不等式(组)确定未知数的值
d.确定方案
2.与函数有关的方案设计问题,一般有多种解决问题的方案,但在实施中要考虑经、时间等因素,类似于求最大值或最小值问题。通常应用函数的性质进行分析解决。
a.利用利用题目提供的材料或图表信息,确定函数关系式;
b.通过不等式正确确定函数自变量的取值范围;
c.利用函数的性质和自变量的取值范围求解;
d.确定方案。
3.与几何图形有关的方案设计问题。大体可分为三类,即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等.对于图案设计类,一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决;对于图形拼接类,关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系,然后逐一组合;对于图形分割类,一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程.
一与方程或不等式有关的方案设计问题
例1.(内蒙古通辽)某网店销售甲、乙两种羽毛球,已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元,王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球,共花费255元.
(1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元?
(2)根据消费者需求,该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒,且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的,已知甲种羽毛球每筒的进价为50元,乙种羽毛球每筒的进价为40元.
①若设购进甲种羽毛球m筒,则该网店有哪几种进货方案?
②若所购进羽毛球均可全部售出,请求出网店所获利润W(元)与甲种羽毛球进货量m(筒)之间的函数关系式,并说明当m为何值时所获利润最大?最大利润是多少?
【考点】二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用
【思路点拨】(1)设甲种羽毛球每筒的售价为x元,乙种羽毛球每筒的售价为y元,由条件可列方程组,则可求得答案;
(2)①设购进甲种羽毛球m筒,则乙种羽毛球为(200﹣m)筒,由条件可得到关于m的不等式组,则可求得m的取值范围,且m为整数,则可求得m的值,即可求得进货方案;②用m可表示出W,可得到关于m的一次函数,利用一次函数的性质可求得答案.
【解题过程】解:
(1)设甲种羽毛球每筒的售价为x元,乙种羽毛球每筒的售价为y元,
根据题意可得,解得,
答:该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元,乙种羽毛球每筒的售价为45元;
(2)①若购进甲种羽毛球m筒,则乙种羽毛球为(200﹣m)筒,
根据题意可得,解得75<m≤78,
∵m为整数,
∴m的值为76、77、78,
∴进货方案有3种,分别为:
方案一,购进甲种羽毛球76筒,乙种羽毛球为124筒,
方案二,购进甲种羽毛球77筒,乙种羽毛球为123筒,
方案一,购进甲种羽毛球78筒,乙种羽毛球为122筒;
②根据题意可得W=(60﹣50)m+(45﹣40)(200﹣m)=5m+1000,
∵5>0,
∴W随m的增大而增大,且75<m≤78,
∴当m=78时,W最大,W最大值为1390,
答:当m=78时,所获利润最大,最大利润为1390元.
二与函数有关的方案设计问题
例2.(四川省巴中)学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套,已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元,1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元.
(1)求A,B两型桌椅的单价;
(2)若需要A型桌椅不少于120套,B型桌椅不少于70套,平均每套桌椅需要运费10元.设购买A型桌椅x套时,总费用为y元,求y与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
(3)求出总费用最少的购置方案.
【考点】二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用;一次函数的应用
【思路点拨】(1)根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元,1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”,建立方程组即可得出结论;
(2)根据题意建立函数关系式,由A型桌椅不少于120套,B型桌椅不少于70套,确定出x的范围;
(3)根据一次函数的性质,即可得出结论.
【解题过程】解:(1)设A型桌椅的单价为a元,B型桌椅的单价为b元,
根据题意知,,
解得,,
即:A,B两型桌椅的单价分别为600元,800元;
(2)根据题意知,y=600x+800(200﹣x)+200×10=﹣200x+162000(120≤x≤130),
(3)由(2)知,y=﹣200x+162000(120≤x≤130),
∴当x=130时,总费用最少,
即:购买A型桌椅130套,购买B型桌椅70套,总费用最少,最少费用为136000元.
【专家点评】本题考查一次函数的应用,二元一次方程的应用,一元一次不等式组的应用,读懂题意,列出方程组或不等式是解本题的关键.