考点分析:
余弦定理;正弦定理.
题干分析:
(Ⅰ) 在△APC中,由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0,解得AP=2,可得△APC是等边三角形,即可得解.
(Ⅱ) 法1:由已知可求∠APB=120°.利用三角形面积公式可求PB=3.进而利用余弦定理可求AB,在△APB中,由正弦定理可求sin∠BAP的值.
法2:作AD⊥BC,垂足为D,可求:PD、AD和∠PAD的值,利用三角形面积公式可求PB,进而可求BD,AB,利用三角函数的定义可求,sin∠BAD和cos∠BAD的值.利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)的值.
解题反思:
应熟练掌握正、余弦定理及其变形。解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷。
已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:
1、利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
2、利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论。