典型例题分析1：
定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足√xf′（x）＜1/2，则下列不等式中，一定成立的是
A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1
B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1
C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1
D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2
解：∵√xf′（x）＜1/2，
∴f′（x）＜1/2√x，
令g（x）=f（x）﹣√x，
则g′（x）=f′（x）﹣1/2√x＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴g（9）＜g（4）＜g（1），
即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，
∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．
故选：A．
考点分析：
利用导数研究函数的单调性．
题干分析：
构造函数g（x）=f（x）﹣√x，则根据导数可判断g（x）单调递减，于是g（9）＜g（4）＜g（1），化简即可得出结论．
典型例题分析2：
函数f（x）的导函数f′（x），对x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）＞ex的解是
A．（2，+∞）
B．（0，1）
C．（1，+∞）
D．（0，ln2）
解：∵x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（f（x）/ex）′＞0，
令g（x）=f（x）/ex，则有g（x）在R上单调递增，
∵不等式f（x）＞ex，
∴g（x）＞1，
∵f（2）=e2，
∴g（2）=f（2）/e2=1，
∴x＞2，
故选：A．
考点分析：
利用导数研究函数的单调性．
题干分析：
构造函数g（x）=f（x）/ex，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案。
