典型例题分析1：
已知x0是函数f（x）=ex﹣lnx的极值点，若a∈（0，x0），b∈（x0，+∞），则
A．f′（a）＜0，f′（b）＜0
B．f′（a）＞0，f′（b）＞0
C．f′（a）＜0，f′（b）＞0
D．f′（a）＞0，f′（b）＜0
解：函数f（x）=ex﹣lnx的定义域为：x＞0；
函数f′（x）=ex﹣1/x，令ex﹣1/x=0，即ex=1/x，
在平面直角坐标系中画出y=ex，y=1/x，的图象，如图：
x∈（0，x0）时，f′（x）=ex﹣1/x＜0，
函数函数f（x）=ex﹣lnx是减函数，
x∈（x0，+∞），f′（x）=ex﹣1/x，＞0，
函数f（x）=ex﹣lnx是增函数，
可得f′（a）＜0，f′（b）＞0．
故选：C．
考点分析：
利用导数研究函数的极值．
题干分析：
求出函数的定义域，函数的导数，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果即可．
典型例题分析2：
已知函数f（x）=（a－lnx）/x在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求实数a的值及f（x）的极值；
（2）若对任意x1，x2∈[e2，+∞），有|（f（x1）－f（x2））/（x1－x2）|＞k/x1·x2，求实数k的取值范围．
解：（1）∵函数f（x）=（a－lnx）/x，
∴f’（x）=（1－a－lnx）/x2，
令f（1）=0，
∴（1－a－ln1）/12=0，
解得a=1；
令f′（x）=0，则lnx=0，
解得x=1，
即f（x）有极大值为f（1）=1；
（2）由|（f（x1）－f（x2））/（x1－x2）|＞k/x1·x2，
可得|（f（x1）－f（x2））/（1/x1－1/x2）|＞k，
令g（1/x）=f（x），则g（x）=x﹣xlnx，其中x∈（0，e﹣2]，
g（x）=﹣lnx，又x∈（0，e﹣2]，则g（x）=﹣lnx≥2，
即|（f（x1）－f（x2））/（1/x1－1/x2）|＞2，
因此实数k的取值范围是（﹣∞，2]．
考点分析：
利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
题干分析：
（1）求函数f（x）的导数，根据导数的几何意义求出a的值，再利用f′（x）=0，求出函数f（x）的极值；
（2）由|（f（x1）－f（x2））/（x1－x2）|＞k/x1·x2变形得|（f（x1）－f（x2））/（1 /x1－1/x2）|＞k，构造函数g（1/x）=f（x），利用导数求出g（x）在定区间上的取值范围即可．
