圆锥曲线中的最值与定值问题
圆锥曲线中的最值问题
【考点透视】
圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：
当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. 利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。
【题型分析】
x2
1.已知P是椭圆，B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积?y2?1在第一象限内的点，A（2，0）4
的最大值
分析：设P（2cos?,sin?），(?0????),点P到直线AB：x 2y=2的距
离2
d?|????)?2|?
（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）
2.已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P
满足条件|PM|?|PN|?记动点P的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程； ????????（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA?OB的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支， x2y2
所求方程为：－＝1 （x?0） 22
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0， ?????AOB?此时A（x0
，B（x0
，O＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b， x2y2
1中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0 代入双曲线方程－＝22
依题意可知方程1?有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
4k2b2?4(1?k2)?(?b2?2)?0?2kb??0解得|k|?1， ?x1?x2?21?k??b2?2?0?x1x2?2k?1?????????又OA?OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
2k2＋2422＝2＋2＝（1＋k）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b＝2?2 k－1k－1????????综上可知OA?OB的最小值为2
1
