一、工程问题续
例1:
有两支成分不同且长度相等的蜡烛,其中一支3小时可燃烧完,另一支4小时燃烧完,现在要求到下午四点钟时,其中一支蜡烛的剩余部分恰是另一支剩余部分的两倍,问应何时点燃这两支蜡烛?
分析:
本题让学生很难下手,其实我们可以把它看作一个工程问题,蜡烛长度就看作工作总量,不妨设为单位1,而几小时燃烧完,则间接告诉了你它的燃烧速度,从而可以求得其燃烧效率分别为三分之一,四分之一,如果我们设燃烧时间为未知数,可求出x小时后,各自相应的燃烧长度,则根据上一讲内容,效率都已知,则从工作量上找相等关系,根据一支的剩余长度是另一支的2倍,即可列出方程,注意,4小时燃烧完的肯定更长些.
解答:
例2:
修一条东西方向的公路,总长5km,由甲乙两工程队共同承建,甲由东向西修建,乙由西向东修建.乙工程队比甲工程队早15天开工,甲工程队由于其他工程开工,中途离开了15天,已知甲工程队平均每月修1km,乙工程队平均每月修0.5km,问甲乙两工程队各修筑了多少千米?(备注:每个月按30天计算)
分析:
显然,本题也与常规工程问题有差异,并非单位1问题.两工程队的效率已知,则剩下两个量工作量,时间未知,我们不妨用2种方法来试试:
如果设工作量为未知数,那么就得从时间上找相等关系,易知乙比甲多干了30天,即一个月.
如果设时间为未知数,就得从工作量上找相等关系,则必须分别表示出两队修的时间,并求出各自的工作量,那么,合作修了5千米,就是他们的总工作量.注意最后求出时间后,别忘了算相应的工作量.
解答:
法1:
法2:
二、行程问题
解题关键
行程问题是我们从小学到初一一直遇到的问题,我们早已学过了解决问题的好方法,画线段图!因此,对于一些往返型,出发有先后的相遇,追击问题,包括顺流逆流问题,我们都可以画图,“知1,设1,找1”,明确一个已知量,设另一个量为未知数,借助第三个量找相等关系,在一般的行程问题中,这种方法屡试不爽,因为只涉及时间,速度,路程这3个量.
例3:
某中学生军训,沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进,每小时走4500m,一列火车以每小时120km速度迎面开来,测得火车与队首学生相遇,到车尾与队末学生相遇共经过60秒,如果队伍长500米,那么火车长多少米?
分析:
本题中,我们要找准相等关系,显然,队伍和火车的速度都是已知的,相遇问题的时间也已确定,那么就要表示出走过的距离之和,我们可以画出如下线段图,不难发现,队伍与火车行驶的距离之和,就是队伍长度与火车长度之和,值得注意的是,这里的单位要统一.
解答:
例4:
甲、乙两人同时以每小时4km的速度从A地出发到B地办事,走了2.5km时,甲要回去取一份文件,他以每小时6km的速度往回走,取了文件后以同样的速度追赶乙,结果他们同时到达B地,已知甲取文件时在办公室里耽误了15min,求A、B两地的距离.
分析:
我们可以画出线段图进行分析.
不难发现,他们开始出发了2.5km的速度是一样的,而之后,甲返回A,耽误了15分钟,再回到B,能和乙同时到达,这里面蕴含了哪些隐藏的信息呢?首先,从全程来看,实际上甲比乙要再多走5km,即返回的2.5km,取完文件后又走的2.5km,从时间来看,甲比乙少走了15分钟,即取文件的15分钟,两人的速度都已知,我们可以合理设元.
设路程为未知数,则时间上可以找相等关系,设时间为未知数,则从路程上找相等关系.
解答:
法1:
法2:
三、利润问题
解题关键
利润问题,其重要性甚至超过了行程问题,因为历年的期末考试,乃至中考,都会出相关类型的应用题,那么在初一阶段,我们该怎么来学呢?
首先要明确几个量,成本(进价),标价(原价),折扣率,售价,利润,利润率.
以及几个量之间的相等关系,
标价(原价)×折扣率=售价
售价-成本(进价)=利润
成本(进价)×(1+利润率)=售价
注意:
例5:
某商场经销一种商品,由于进价降低了20%,零售价却保持不变,使得利润率提高了30个百分点,则原利润率为多少?
分析:
本题中,涉及到了3个量,进价,售价,利润率,但并没有具体的数据.利润率是相对进价来说的,显然,进价×(1+利润率)=售价.我们要抓售价不变来找相等关系,那么,原进价×(1+原利润率)=现进价×(1+现利润率),这里我们可以设原进价为a元,引入一个参数,在最后计算过程,可以消去,也可称之为辅助元,再设原利润率为x%,不妨列表来帮助分析.
解答:
例6:
分析:
本题是无锡中考压轴题,应该说,难点在于能不能读懂题目,计算也稍显繁琐,我们先解释一些词语,再逐小问分析:
首选,起征点每月2000元的意思是,每月收入超过2000元的部分要开始交税.
(1)首先,我们要结合两种方法来明确是如何计算税款的,方法1,常规操作,与计算阶梯水费等方式类似,方法2,直接用总额减去一个数即可,其实,这个数是可以算出来的,我们不妨可以和上一题一样,设月应纳税额为x元,再设这个“速算扣除数”为a,显然,前者是辅助元,我们利用2种方法下,所交税款相等建立方程.
(2)我们可以先通过计算,确定1060元税款所对应的月应纳税额范围,从而求出月应纳税额,
然后加上相应的起征点,再减去提高后的起征点,再计算草案对应所缴税款.
(3)显然,我们依然要确定3千多元税款所对应的月应纳税额范围,注意,由于缴纳税款在两种方式下是一样的,就要考虑尽可能多的情况,再做取舍.本题设月收入为未知数比较合适,利用2种情况下,法2算出的税款相等即可.
解答: