已知函数f（x）=lnx+ 其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1+∞）内单调递

问题补充：

已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．

（1）若函数f（x）在区间[1+∞）内单调递增，求a的取值范围；

（2）求函数f（x）在区间[[1，2]上的最小值．

答案：

解：f′（x）=（x＞0），

（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，

即a≥在[1，+∞）上恒成立，

又∵当x∈[1，+∞）时，1，

∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）；

（2）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数，

∴f（x）min=f（1）=0；

当0＜a≤，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，

∴f（x）min=f（2）=ln2-；

当＜a＜1时，令f′（x）=0，得x=∈（1，2），

又∵对于x∈[1，）有f′（x）＜0，对于x∈（，2）有f′（x）＞0，

∴f（x）min=f=ln+1-，

综上，f（x）在[1，2]上的最小值为

①当0＜a时，f（x）min=ln2-；

②当时，f（x）min=ln+1-；

③当a≥1时，f（x）min=0．

解析分析：（1）求导数f′（x），由函数f（x）在区间[1+∞）内单调递增，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数后转化为求函数最值即可；（2）令f′（x）=0，得x=，根据x=在区间[1，2]外、区间内分情况讨论，按照单调性即可求得其最小值；

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决．

已知函数f（x）=lnx+ 其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1+∞）内单调递增 求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[[1 2]上的最小值．