问题补充:
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:
(1)当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x:
(2)当x∈(0,2)时,f(x)≤;
(3)f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
答案:
解:因f(x-4)=f(2-x),则函数的图象关于x=-1对称,∴=-1,b=2a,
由(3),x=-1时,y=0,即a-b+c=0,由(1)得,f(1)≥1,由(2)得,f(1)≤1,
则f(1)=1,即a+b+c=1.又a-b+c=0,则b=,a=,c=,故f(x)=x2+x+.
假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
取x=1,有f(t+1)≤1,即(t+1)2+(t+1)+≤1,解得-4≤t≤0,
对固定的t∈[-4,0],取x=m,有f(t+m)≤m,即(t+m)2+(t+m)+≤m.
化简有:m2-2(1-t)m+(t2+2t+1)≤0,解得1-t-≤m≤1-t+,
故m≤1-t-≤1-(-4)+=9
当t=-4时,对任意的x∈[1,9],
恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0.
∴m的最大值为9.
解:∵f(x-4)=f(2-x)
∴函数的图象关于x=-1对称
∴b=2a
由③知当x=-1时,y=0,即a-b+c=0
由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0
∴a=b=c=
∴f(x)=…
假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x
取x=1时,有f(t+1)≤1?(t+1)2+(t+1)+≤1?-4≤t≤0
对固定的t∈[-4,0],取x=m,有
f(t+m)≤m?(t+m)2+(t+m)+≤m?m2-2(1-t)m+(t2+2t+1)≤0?≤m≤…
∴m≤≤=9 …
当t=-4时,对任意的x∈[1,9],恒有
f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴m的最大值为9. …
另解:∵f(x-4)=f(2-x)
∴函数的图象关于x=-1对称
∴b=2a
由③知当x=-1时,y=0,即a-b+c=0
由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0
∴a=b=c=
∴f(x)==(x+1)2 …
由f(x+t)=(x+t+1)2≤x 在x∈[1,m]上恒成立
∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当x∈[1,m]时,恒成立
令 x=1有t2+4t≤0?-4≤t≤0
令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当t∈[-4,0]时,恒有解 …
令t=-4得,m2-10m+9≤0?1≤m≤9 …
即当t=-4时,任取x∈[1,9]恒有
f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴mmax=9 …
解析分析:通过三个条件先求出函数解析式f(x)=x2+x+,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.那么当x=1时也成立确定出t的范围,然后研究当x=m时也应成立,利用函数的单调性求出m的最值.
点评:本题考查了函数的最值问题,以及利用函数单调性进行求解最值,考查了学生的计算能力,属于中档题.
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a b c∈R a≠0)满足条件:(1)当x∈R时 f(x-4)=f(2-x) 且f(x)≥x:(2)当x∈(0 2)时 f(x