我们先看一下稳定性，看下面的这幅图

A,B,C三个点都是平衡点，把小球放在三个点上，都不会动，A点和C点的区别就是C点是有摩擦的。如果我们让A点的小球小球偏离A点，小球就会无休止的摆下去，如果让B点的小球偏离，则小球永远不会回到B点，如果让C点的小球偏离，因为有摩擦力，偏离平衡点之后，最终小球会逐渐的回到C点。所以我们称A，C点是稳定点，B点不是一个稳定点。

在这里，提出一个不严谨的说法：一个稳定系统，在离开平衡点后的反应随时间衰减，至少不增加。

下面给出一个严谨的数学表达，先看几个符号：

∀:\forall:∀: for all，对于任意给定

∃:\exist:∃: at least one，至少存在一个

∣∣⋅∣∣:||\cdot||:∣∣⋅∣∣: norm，范数，可以认为是欧式距离，∣∣x∣∣=x12+x22+...+xn2||x|| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}∣∣x∣∣=x12​+x22​+...+xn2​​

定义：李雅普诺夫意义下的稳定性

∀t0,∀ϵ>0,∃δ(t0,ϵ):∣∣x(t0)∣∣<δ(t0,ϵ)⇒∀t≥t0,∣∣x(t)∣∣≤ϵ\forall_{t_0},\forall{\epsilon}>0, \exist\delta(t_0,\epsilon):||x(t_0)||<\delta(t_0,\epsilon) \Rightarrow \forall{t}\geq t_0,||x(t)||\leq\epsilon∀t0​​,∀ϵ>0,∃δ(t0​,ϵ):∣∣x(t0​)∣∣<δ(t0​,ϵ)⇒∀t≥t0​,∣∣x(t)∣∣≤ϵ

定义：渐进稳定性

∃δ(t0)>0:∣∣x(t0)∣∣<δ(t0)⇒lim⁡x→∞∣∣x(t)∣∣=0\exist{\delta(t_0)}>0:||x(t_0)||<\delta(t_0)\Rightarrow\lim_{x \to \infty}||x(t)||=0∃δ(t0​)>0:∣∣x(t0​)∣∣<δ(t0​)⇒x→∞lim​∣∣x(t)∣∣=0

上面的两个定义比较晦涩，下面这两幅图更容易看懂一些。假设有一个二维系统x˙=f(x1,x2)\dot{x} = f(x_1,x_2)x˙=f(x1​,x2​)，我们把它画在下面的二维系统中，半径分别为δ，ϵ\delta，\epsilonδ，ϵ的两个圆，如果初始状态都在小圆内（D点和E点），李雅普诺夫下的稳定性是指最终稳定在大圆之内，渐进稳定性是指最终会回到原点。

LTI系统

之前提到的可以通过判断x˙=Ax\dot{x} = Axx˙=Ax中的A矩阵的特征值判断稳定性，假设特征值λ=a+bi\lambda=a+biλ=a+bi，在这里李雅普诺夫下的稳定性就是指所有的特征值只有非正的实部（a≤0a\leq0a≤0），渐进稳定性是指所有特征值只有负实部（a<0a<0a<0）。只要有一个特征值大于0就是不稳定的系统。

非线性系统

求解微分方程可以判断系统稳定性，但比较难，李雅普诺夫方法不用求解微分方程，也可以判断稳定性。

如果x˙=f(x0)\dot{x} = f(x_0)x˙=f(x0​)，x=0x=0x=0是平衡点。

case1：

（i）V(0)=0V(0)=0V(0)=0

（ii）V(x)≥0inD−{0}V(x)\geq0 \ in\ D-\{0\}V(x)≥0inD−{0}，不包括0的定义域

（iii）V˙(x)≤0inD−{0}\dot{V}(x)\leq0 \ in\ D-\{0\}V˙(x)≤0inD−{0}

我们称x=0x=0x=0是一个稳定的平衡点。

case2：

（i）V(0)=0V(0)=0V(0)=0

（ii）V(x)>0inD−{0}V(x)>0 \ in\ D-\{0\}V(x)>0inD−{0}

（iii）V˙(x)<0inD−{0}\dot{V}(x)<0 \ in\ D-\{0\}V˙(x)<0inD−{0}

我们称x=0x=0x=0是一个渐进稳定的平衡点。

这里有两个概念：PSD（positive semi definition）半正定，NSD（negative semi definition）半负定。

举例LTI系统

看一个弹簧阻尼系统

这样的一个LTI系统的微分方程是

mx¨+Bx˙+Kx=0m\ddot{x}+B\dot{x}+Kx= 0mx¨+Bx˙+Kx=0

写成状态方程的形式就是

[z1˙z2˙]=[01−Km−Bm][z1z2]\left[ \begin{matrix} \dot{z_1} \\ \dot{z_2} \end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -\frac{K}{m} & -\frac{B}{m} \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} z_1 \\ z_2 \end{matrix}\right][z1​˙​z2​˙​​]=[0−mK​​1−mB​​][z1​z2​​]

平衡点是z1=z2=0z_1=z_2=0z1​=z2​=0。

我们可以用矩阵特征值的性质来判断一下矩阵特征值的符号，我们知道

λ1+λ2=0+(−Bm)=−Bm<0\lambda_1+\lambda_2 = 0+(-\frac{B}{m})=-\frac{B}{m}<0λ1​+λ2​=0+(−mB​)=−mB​<0

λ1×λ2=∣A∣=km>0\lambda_1\times \lambda_2 = |A|=\frac{k}{m}>0λ1​×λ2​=∣A∣=mk​>0

由上面的两个公式可以推出λ1,λ2<0\lambda_1,\lambda_2<0λ1​,λ2​<0，系统稳定。从实际中也可以知道，无论弹簧的初始状态怎么样，弹簧虽然会震荡，但最终会稳定。

举例非线性系统

假设上面的弹簧拥有了这样的性质

fk=kx3f_k= kx^3fk​=kx3

系统就变成了下面这种形式

mx¨+Bx˙+kx3=0m\ddot{x} + B\dot{x}+kx^3 = 0mx¨+Bx˙+kx3=0

我们可以设V=12mx˙2+14kx4V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{4}kx^4V=21​mx˙2+41​kx4，这个公式满足V(0)=0,V>0V(0)=0, V>0V(0)=0,V>0在D−{0}D-\{0\}D−{0}，所以VVV是一个正定函数。再看一下V˙\dot{V}V˙。

V˙=mx˙x¨+kx3x˙=mx˙(−kx3m−Bx˙m)+kx3x˙=−kx3x˙−Bx˙2+kx3x˙=−Bx˙2<0\dot{V} = m\dot{x}\ddot{x} + kx^3\dot{x} = m\dot{x}(-\frac{kx^3}{m}-\frac{B\dot{x}}{m})+kx^3\dot{x}=-kx^3\dot{x}-B\dot{x}^2+kx^3\dot{x}=-B\dot{x}^2<0V˙=mx˙x¨+kx3x˙=mx˙(−mkx3​−mBx˙​)+kx3x˙=−kx3x˙−Bx˙2+kx3x˙=−Bx˙2<0

V˙\dot{V}V˙是一个负定的函数，符合上面的case2的情况，系统是一个渐进稳定的系统。这里面比较难的是如何寻找李雅普诺夫函数，这是一个有技巧性的东西。