1892年,俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述,适用于单变量,线性,非线性,定常,时变,多变量等系统。
目前,李雅普诺夫理论是证明非线性系统稳定性的重要理论依据,也是设计控制算法的重要方法之一。
这里介绍李雅普诺夫直接法(第二法)
基础知识
1、二次型定义及其表达式
形如
f(x,y)=ax2+2bxy+cy2,每项的次数都是2。矩阵表示为:
V(x1,x2,⋯,xn)=[x1,x2,⋯,xn]⎡⎣⎢⎢⎢⎢p11,p21,⋯,pn1,p12,p22,⋯,pn2,…,…,⋯,…,p1np2n⋯pnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=xTPx
其中,P 为对称矩阵。
2、(二次型)V(x) 判据
(1)、
(2)、若 P 是奇异矩阵,且它的所有主子式行列式均非负,则 V(x) 为半正定的。
(3)、如果矩阵 P的奇数阶主子行列式为负值,偶数阶主子行列式为正值,则其为负定的。
(4)、若 P 正定,则对于任意 x≠0, 总有 V(x)>0。
3、任意 V(x) 判据
(1)、则对于任意 x≠0, 总有 Q(x)=xTQx>0 ,则称 Q(x) 为正定函数。
(2)、则对于任意 x, 总有 Q(x)=xTQx≥0 , 且存在 x≠0 ,使 Q(x)=0,则称 Q(x) 为半 正定函数。
(3)、若 −Q(x) 为(半)正定函数,则 Q(x) 为(半)负定函数
稳定性定理
一、稳定性定义
1、对系统 x˙=f(x,t),若任意给定一个实数 ϵ>0,总存在另一个实数δ(ϵ,t0)>0 ,使当 初始条件 ||x(t0)||<δ 时,系统的状态 ||x(t)||<δ,∀t≥to , 则称系统的平衡状态xs 是稳定的。否则,就是不稳定的。
2、一致稳定性
如果系统的平衡状态是稳定的,且 δ 与t0 无关,(若任意给定一个实数 ϵ>0,总存在另一个实数δ(ϵ)>0 ,使当 初始条件 ||x(t0)||<δ 时,系统的状态 ||x(t)||<δ,∀t≥to ),则该平衡状态是一致稳定的。
若定常系统的平衡状态是稳定的,则一定是一致稳定的。
3、渐近稳定性
若 xe是系统的一个稳定点,对任意 t0,存在正常数
δ(t0)∈R+,当 x(t0)<δ, 系统的状态收敛于0,即
limt→∞||x−xe||=0
则系统是渐进稳定的。
4、指数稳定性
对一个系统而言,如果存在正常数 α,λ∈R+,当初始位置在以原点为中心的球域范围内,即 x(t0)∈Br(o,r) 时,系统的状态x(t)具有以下的包络线:
||x(t)||≤||x(t0)||e−λ(t−t0) ,则称平衡点 xs=0 是指数稳定的,其中正常数 λ 称为指数收敛率。
二、稳定性定理
李雅普诺夫第二法是从能量的观点出发得来的。任何物理系统的运动都要消耗能量,并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统,如果系统的能量,随系统的运动和时间的增长而连续地减小,一直到平衡状态为止,则系统的能量将减少到最小,那么这个系统是渐近稳定的。
1、局部稳定性定理
设x=0是系统的平衡点,如果对于球域 BR,存在一个标量函数 V(x) ,它具有一阶连续偏导数,且满足:
(1)、函数V(x)在球域BR上是正定的
(2)、若函数 V(x)关于时间的导数在球域BR 上是半负定的,则平衡点x=0是局部稳定的
(3)、若函数V(x)关于时间的导数在球域 BR上是负定的,则平衡点 x=0是局部渐近稳定的
2、全局稳定性定理
设x=0是系统的平衡点,存在一个标量函数 V(x) ,它具有一阶连续偏导数,且满足:
(1)、函数V(x) 是正定的
(2)、 V(x) 正则,即当 ||x||→∞ 时, V(x)→∞ 。
(3)、若函数 V(x)关于时间的导数是半负定的,则平衡点x=0是全局稳定的
(4)、若函数V(x)关于时间的导数是负定的,则平衡点 x=0是全局渐近稳定的
3、全局指数稳定性定理
设x=0是系统的平衡点,存在一个标量函数 V(x) ,它具有一阶连续偏导数,且满足:
(1)、函数V(x) 是正定的
(2)、 V(x) 正则,即当 ||x||→∞ 时, V(x)→∞ 。
(3)、若函数 V(x)关于时间的导数是半负定的
(4)、存在两个正数λ1 和λ2 ,分别使得
V(x)≤λ1||x||2,V˙(x)≤λ2||x||2
则平衡点 x=0是全局指数稳定的,指数收敛率为λ1λ2