文章目录
一、李雅普诺夫关于稳定性的定义1.李氏意义下的稳定2.渐近稳定3.大范围渐近稳定4.不稳定二、李雅普诺夫第一法1.线性系统的稳定判据2.非线性系统的稳定判据三、李雅普诺夫第二法1.标量函数的定号性2.稳定性原理四、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用五、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用1.雅可比矩阵法2.变量梯度法一、李雅普诺夫关于稳定性的定义
系统x˙=f(x,t)\dot x=f(x,t)x˙=f(x,t),若存在状态xex_exe满足x˙e≡0\dot x_e\equiv 0x˙e≡0,则该状态为平衡状态
1.李氏意义下的稳定
系统对于任意选定的实数ε>0\varepsilon>0ε>0,都存在一个实数δ>0\delta>0δ>0,当满足∣∣x0−xe∣∣≤δ||x_0-x_e||\leq\delta∣∣x0−xe∣∣≤δ
从任意x0x_0x0出发的解都满足∣∣Φ−xe∣∣≤ε||\Phi-x_e||\leq\varepsilon∣∣Φ−xe∣∣≤ε
则称平衡状态为李氏意义下的稳定
2.渐近稳定
解最终收敛于xex_exe
3.大范围渐近稳定
从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xex_exe为大范围内渐近稳定
4.不稳定
不管δ\deltaδ有多小，只要由S(δ)S(\delta)S(δ)内出发的状态轨迹超出S(ε)S(\varepsilon)S(ε) 以外，则称此平衡状态是不稳定的
二、李雅普诺夫第一法
1.线性系统的稳定判据
李氏稳定（状态稳定）的充要条件：系统矩阵A的全部特征值位于复平面的左半部
输出稳定的充要条件：传递函数W(s)=C(SI−A)−1BW(s)=C(SI-A)^{-1}BW(s)=C(SI−A)−1B的全部极点位于复平面左半部
PS：输出稳定不一定状态稳定，可能存在零极点对消
2.非线性系统的稳定判据
非线性系统状态方程x˙=f(x)\dot x=f(x)x˙=f(x)
f(x)=[f1,f2⋯fn]f(x)=[f_1,f_2\cdots f_n]f(x)=[f1,f2⋯fn]
向量函数的雅可比矩阵：
原非线性状态方程化为线性状态方程Δx˙=∂f∂xTΔx\Delta\dot x=\frac{\partial f}{\partial x^T}\Delta x Δx˙=∂xT∂fΔx
其中Δx=x−xe\Delta x=x-x_eΔx=x−xe
然后可套用线性系统的稳定判据
三、李雅普诺夫第二法
1.标量函数的定号性
V(x)V(x)V(x)为x所定义的标量函数，对于任何非零矢量x，如果：
1）V(x)>0V(x)>0V(x)>0,则为正定的
2）V(x)≥0V(x)\geq0V(x)≥0,则为半正定的
3）V(x)<0V(x)<0V(x)<0,则为负定的
3）V(x)≤0V(x)\leq0V(x)≤0,则为半负定的
2.稳定性原理
1、V(x)V(x)V(x)正定,V˙(x)\dot V(x)V˙(x)负定，在原点是渐近稳定的
并且如果∣∣x∣∣−>∞,V(x)−>∞||x||->\infty,V(x)->\infty∣∣x∣∣−>∞,V(x)−>∞,则系统是大范围渐近稳定的
2、V(x)V(x)V(x)正定,V˙(x)\dot V(x)V˙(x)半负定，在非零状态V˙(x)\dot V(x)V˙(x) 不恒为 0,在原点是渐近稳定的
3、V(x)V(x)V(x)正定,V˙(x)\dot V(x)V˙(x)半负定，在非零状态V˙(x)\dot V(x)V˙(x) 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定
4、V(x)V(x)V(x)正定,V˙(x)\dot V(x)V˙(x)正定，在原点是不稳定的
5、V(x)V(x)V(x)正定,V˙(x)\dot V(x)V˙(x)正半定，在非零状态V˙(x)\dot V(x)V˙(x) 不恒为 0,在原点是不稳定的
6、V(x)V(x)V(x)正定,V˙(x)\dot V(x)V˙(x)正半定，在非零状态V˙(x)\dot V(x)V˙(x) 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定
四、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
选定正定二次型函数V(x)V(x)V(x)为李氏函数
V(x)=xTPxV(x)=x^TPxV(x)=xTPx
V˙(x)=xT(PA+ATP)x\dot V(x)=x^T(PA+A^TP)xV˙(x)=xT(PA+ATP)x
令Q=−(PA+ATP)Q=-(PA+A^TP)Q=−(PA+ATP)
如果Q正定，则系统是大范围渐进稳定的
判定稳定性的步骤：
1、选取正定矩阵Q（通常是单位阵）
2、由Q=−(PA+ATP)Q=-(PA+A^TP)Q=−(PA+ATP)求P
3、判断P的正定性
4、稳定性结论
五、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
1.雅可比矩阵法
x˙=f(x)\dot x=f(x)x˙=f(x)
判定稳定性的步骤：
1、求雅可比矩阵
2、克拉索夫斯基表达式：Q(x)=−[JT+J]Q(x)=-[J^T+J]Q(x)=−[JT+J]
3、判断Q的正定性
4、稳定性结论
PS：克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件不是必要条件
2.变量梯度法
1、设∇V=\nabla V=∇V=
2、V˙(x)=(∇V)Tx˙\dot V(x)=(\nabla V)^T\dot xV˙(x)=(∇V)Tx˙
限定V˙(x)\dot V(x)V˙(x)为负定
3、利用n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}2n(n−1)个旋度方程确定∇V\nabla V∇V中的未知数
4、计算并验证V正定性
5、确定系统渐进稳定的范围
