问题补充:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE,连接EF.
(1)试探索EF与AB位置关系,并证明;
(2)如图2,当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论是否成立?请说明理由.
(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=m°,P为BC延长线上一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使(1)的结论依然成立,则需要添加怎样的条件?为什么?
答案:
解:(1)EF⊥AB.
证明:∵△PCF和△PQE都是等边三角形,
∴PF=PC,PE=PQ,
∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°,
∴∠EPF=∠QPC,
在△PFE和△PCQ中
∴△PFE≌△PCQ(SAS);
∴∠EFP=∠QCP=90°,
∴EF⊥PF;
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°;
又∵∠FPC=60°,
∴∠B=∠FPC,
∴PF∥AB(同位角相等,两直线平行),
∴EF⊥AB;
(2)当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论成立.
证明:∵△PCF和△PQE都是等边三角形,
∴PF=PC,PE=PQ,
∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°,
∴∠EPF=∠QPC,
在△PFE和△PCQ中
∴△PFE≌△PCQ(SAS);
∴∠EFP=∠QCP=90°,
∴EF⊥PF;
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°;
又∵∠FPC=60°,
∴∠B=∠FPC,
∴PF∥AB(内错角相等,两直线平行),
∴EF⊥AB;
(3)要使(1)的结论依然成立,则需要添加条件是:∠CPF=∠B=∠QPE.
需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB(内错角相等,两直线平行),才能证明EF⊥AB.
解析分析:(1)通过等边三角形的性质(三条边相等、三个角相等)求得PF=PC,PE=PQ,∠EPF=∠QPC;然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ,再根据全等三角形的性质(对应角相等)知∠EPF=∠QPC=90°;接下来由平行线的判定定理(同位角相等,两直线平行)知PF∥AB;最后由平行线的性质(两平行线中,有一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线)知EF⊥AB;(2)通过等边三角形的性质(三条边相等、三个角相等)求得PF=PC,PE=PQ,∠EPF=∠QPC;然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ,再根据全等三角形的性质(对应角相等)知∠EPF=∠QPC=90°;接下来由平行线的判定定理(内错角相等,两直线平行)知PF∥AB;最后由平行线的性质(两平行线中,有一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线)知EF⊥AB;(3)需要添加的条件需满足:△PFE≌△PCQ、PF∥AB(内错角相等,两直线平行).
点评:本题综合考查了全等三角形的性质、全等三角形的判定与性质.解答本题要充分利用等边三角形的三边关系、三角关系,可有助于提高解题速度和准确率.
如图1 在Rt△ABC中 ∠ACB=90° ∠A=30° P为BC边上任意一点 点Q为AC边动点 分别以CP PQ为边做等边△PCF和等边△PQE 连接EF.(1)试