李雅普诺夫稳定性理论的理解

由于李雅普诺夫第一方法需要求解才能判断系统的稳定性，而大多数情况下，这个解是很难求出来的，所以便有了李雅普诺夫第二法（直接法）。

首先举个例子来说明直接法的基本思想。下图中小球B出在各曲面不同位置时收到微小扰动后的两种运动趋势。

（a）小球受扰后会离开B点，而不会返回B点

（b）小球受扰后，作等幅周期震荡（曲面无摩擦），或作衰减震荡（曲面有摩擦）。

（1）小球在（a）中平衡点很容易失去，小球不再回来，因此称该平衡点是不稳定的，该力学系统的稳定性是不好的；而小球在（b）中的平衡点却不会失去，小球作衰减振荡，最终会停在原来的平衡状态，因此称该平衡点是稳定的，该力学系统的稳定性是好的。

（2）受到微小扰动后，小球两种运动趋势不同，（a）中小球离开平衡点，动能是增加的，而（b）中小球离开平衡点，小球作衰减振荡，动能是不断减少的，最终动能会变为零。

以上可总结为：从实际系统的运动可以看出，一个系统如果具有一定的初始能量，若这个系统的能量随时间推移而不断衰减，那么系统迟早会运动到平衡状态。

但实际上寻求系统的能量函数是非常困难的。因此李雅普诺夫提出了一个相似于能量的标量函数，可以理解为“广义能量”

V（x，t）

它是一个标量函数，考虑到能量总大于零，故V(x,t)为一个正定函数。其能量衰减特性用V̇（x，t）表征。利用V及V̇的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出动态方程的解。

对于标量函数的正定性是指V（x）在域S中对所有非零状态有V（x) > 0，且V（0）=0，则称V（x）在S域内正定，例如

负定性即指V（x）在域S中对所有非零状态有V（x）<0,且V（0）=0，则称V（x）在S域内负定。例如

以上就是在学习李雅普诺夫定理时做的一点点总结，如有不完善之处还请大家不吝赐教。（ps：写完之后最大感受就是csdn的编辑器写公式也太麻烦了吧）